I | 
N 
if 
Darstellung der Kummer'schen Fläche durch hyperellipt. Functionen. (p.19) 391 | 
| 
$3. Die Rosenhain’schen und die Borchardt’schen Moduln. | 
Wenn oben (S 1) gesagt wurde, die als Singularitätenfläche der 
Complexschaar (1) definirte Kummer’sche Fläche gehöre zu einer binären 
Form sechsten Grades 
IU = CAS) CG bai E Ke 
so ist dies nicht so zu verstehen, als ob jeder Kummer’schen Fläche eine 
bestimmte Form f() zugeordnet wäre. Für die Kummer’sche Fläche kommen 
vielmehr nicht die einzelnen Werthe der Grössen k;, sondern nur die | 
Invarianten der Form sechsten Grades in Betracht. Es folgt dies N 
einfach daraus, dass die Complexsehaar (1) in sich übergeht, wenn man | 
alle k, derselben linearen Transformation unterwirft. In der That ist, wie | 
man durch leichte Umrechnung findet, die Complexschaar d 
5 4 Zu +p d | 
i äisen | 
identisch mit der Sehaar (1). 
Unter den Systemen von Invarianten nun, die man für eine biniire 
Form sechsten Grades angeben kann, haben für die Kummer’sche Fläche die 
„Rosenhain’schen“ und die „Borchardt'schen Moduln“ besonderes 
Interesse. Ein System Moduln der ersteren Art, die Rosenhain*) benutzt, 
indem er f(4) in der eanonisehen Form 
fj (4) = A(1- A) (1— k22) (1 —122) (1— m?4) 
voraussetzt, erhält man, wenn man aus den 90 Doppelverhältnissen der sechs 
Verzweigungspunkte k; drei unabhängige auswählt (was auf 120 Weisen 
möglich ist). So bilden z. B. die drei Doppelverhältnisse | 
k, —k, .k i k, — k, . ke ka, k, — k, 
k, Mn iy k, —k,.k, — k, k, — k, . Ke — Ka H 
ein System Rosenhain’scher Moduln. Nennt man diese Ausdrücke 
k? resp. 1? resp. m?, 
so kann die allgemeine Form f(4) in die Normalform f, (4) übergeführt werden, 
indem man k,, ks, ke resp. nach 0, 1, oo projieirt, wobei ja gleichzeitig 
I WM eM x NIS n. 
ks, ka, ks naeh Gr me a» rücken. Aus dieser Definition der Rosenhain’schen 
k 
Moduln (deren es also 120 gleichberechtigte Systeme giebt) folgt mit Rück- 
*) Rosenhain ,,Mémoire sur les fonctions de deux variables et à quatre périodes“, 
1846, Mém. Sav. étrang. XI, 1851. 
DIN 
| 
i 
i 
j 
