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M. Olivier s'appuie sur une propriété remarquable dont jouissent les liélices, savoir : 

 que le plan oscillateur d'une hélice est toujours perpendiculaire au plan tangent de la 

 surface ddveloppahle sur laquelle l'hélice se trouve tracée. 



Supposons une suiface développable D ayant pour arête de rebioussement une courbe E; 

 sur la surface D une bélice H; en un point m de cette couibe sa tangente t et la ge'néra- 

 trice G de la surface. * 



Traçons sur la surface D une des développantes e de la courbe E, et de'signons par n 

 le point en lequel l'hélice H et la développante e se coupent, et par p le point en lequel 

 la génératrice G coupe la courbe e. 



Développons la surface développable D sur son plan tangent T mené par la génératrice 

 G.Dèslors les courbes se transformeront E en E', e en e',H en sa tangente t; les deux courbes 

 transformées t et e se coupant en un point n'; les deux courbes e et e' étant tangentes 

 l'une à l'autre au point p. 



Si maintenant l'on fait rouler le plan tangent T sur la surface D, de manière que les cour- 

 bes E' et e roulent respectivement sur les courbes E et e, la tangente t, par ses diverses 

 positions, formera une surface développable D' ayant l'hélice H pour arête de rebrousse- 

 ment. Le point n' décrivant dans l'espace une courbe h. 



La courbe h est une des développantes de l'hélice H , car elle coupe rectangulairement 

 les diverses positions de la droite t. 



En eifet. 



Considérons le plan T dans l'une de ses positions , celle ou il est en contact avec la surfa- 

 ce D par la génératrice G. 



Le point n tend à décrire une courbe située sur deux shpètes, l'une ayant son centre au 

 point m et pour rayon mn', l'autre ayant son centre au point p et pour rayon ,pn'. 



La tangente à la courbe h pour le point n' sera l'intersection des plans tangens menés à 

 l'une et l'autre de ces sphères pour le point n', et il est évident que ces plans sont respective- 

 ment perpendiculaires au plan T qui contient les deux centres m etp et le point n'. La tan- 

 gente à la courbe h sera doncperpendiculaiie à la génératrice t de la surface développable D' 



Le plan tangent T' à la surface D' suivant la génératrice t, lequel sera plan oscutateur de 

 l'hélice H pour le point m, est donc perpendiculaire au plan tangent T de la surface dé- 

 veloppable D pour le même point m. 



Oa conclut delà que tout point d'une courbe tracée sur une surface développable don- 

 nera sur la transformée un point pour lequel le rayon de courbure sera préféré lorsque 

 pour ce point le plan oscutateur de la courbe donnée -era perpendiculaire au plan tancent 

 à la surface développable pour le même point. 



Pour les courbes à double courbure , le point de la transformée peut être un point d'in- 

 flexion ou un point méplat ( désignant par point méplat celui pour lequel la courbe est'avant 

 et après le point, située d'un même côlé de sa tangente ). On distingue ces points, en pro- 

 jetant la courbe donnée sur le plan tangent à la surface développablej et pour cela il suffit 

 de prendre deux points sur la courbe l'un avant, l'autre après, le point qui doit se transfor- 

 mer en un point d'inflexion ou méplat, et de voir si les pieds des perpendiculaires abaissées 

 de chacun de ces points sur le plan tangent à la surface développable, tombent tous les 

 deux d'un même côlé de la tangente à la courbe, ou l'un au dessus et l'antre au dessous, 

 Daas le premier cas, la transformée a un point méplat, dans le second cas, un point d'inflexion. 



