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Le plan langent au sommet du paraboloïde coupe cette surface suivant deux génciatrices 

 de systèmes diffe'rents qui comprennent entr'elles un angle égal à celui des plans directeurs. 



Dans le petit modèle présenté par M. Olivier, ces deux génératrices remarquables sur la 

 surface sont celles qui passent par les points milieux, la première des côtés a et a, la seconde 

 des côtés b et b'. De sorte que pendant le mouvement du V mobile , l'angle de ces deux fils 

 varie continuellement, passant de l'angle obtus à l'angle droit , puis à l'angle aigu, pour enfin 

 s'annuUer , auquel cas les deux fils se superposent, les deux V se recouchant l'un sur l'autre. 



Ce petit modèle oifre l'avantage d'être peu coûteux, car il peut être exécuté en bois, et sa 

 simplicité permet de le confectionner avec la plus grande facilité, sans avoir besoin de re- 

 courir à un ouvrier habile ('). 



M. Olivier présente ensuite quelques idées sur les surfaces gauches en général. 



Toute surface gauche peut être regardée comme ayant deux modes de génération; dans 

 le premier mode, on peut supposer la surface engendrée par une droite mobile s'appuyant 

 sur trois courbes directrices fixes. Dans le second mode , on peut supposer la surface engen- 

 drée par une droite se mouvant sur deux courbes fixes et pendant son mouvement devenant 

 successivement parallèle aux diverses génératrices d'un cône. 



Une surface gauche peut être donnée par l'un ou l'autre de ces deux modes de génération, 

 les arts en offrent plusieurs exemples. Il est toujours facile lorsque la surface est donnée par 

 l'un de ces deux modes, de construire tout ce qui est nécessaire pour opérer l'autre mode 

 de génération. 



Supposons une surface donnée par le premier mode , désignant par C , C , C", les courbes 

 directrices, et par G, G', G", etc., les diverses génératrices de la surface; on pourra toujours 

 prendre un point arbitraire, et mener par ce point des droites g , g, g', etc., respectivement 

 parallèles aux génératrices G, G', G", etc., on formera donc un cône D ; et l'on pourra dès 

 lors supposer la surface comme engendrée par une droite G s'appuyant sur les deux courbes 

 C et C', et se mouvant parallèl^meni au côae direcieur D. 



De même, si l'on a une surface gauche donnée par le second mode de génération, on 

 pourra toujours la couper par un plan ou une surface de forme déterminée suivant une 

 eourbe C", et dès-lors regarder la surface donnée, comme déterminée par le premier mode 

 de génération, savoir : par une droite s'appuyant sur les 5 courbes G, C, G'. 



L'on sait que suivant une génératrice d'une, surface gauche, l'on peut construire une in- 

 finité d'hyperboloides ou de paraboloïdes tangents, et que pour construire le plan tangent 

 en un point d'une génératrice d'une surface gauche , on emploie ou l'un des hyperboloïdes 

 ou l'un des paraboloïdes tangents , et que l'on doit choisir celui que les données de la question 

 permettent de déterminer le plus facilement. 11 paraît que dans les diverses applications il 

 est préférable d'employer l'hyperboloïde , lorsque la surface gauche est déterminée par le 

 premier mode , et le paraboloïde lorsque la surface est au contraire déterminée par le 

 deuxième mode de génération. En un mot, il paraît qu'il est préférable pour la simplicité 



(*) Noai ne pouvons nous dispenser de rappeler ici les modèles des surfaces gauches de diverses natures 

 exécutés par M. Bocchi, conservateur des modèles de l'École Polytechnique. Leur construction et la dispo. 

 sition de Jeurs diverses parties sont on ne peut plus ingénieuses , et ib sont exécutés avec une grande habileté, 

 ainsi que les modèles d'engrenages. 



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