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des constructions graphiques, d^employer la surface la plus simple dans le même mode de 

 ge'nération, pour obtenir le plan tangent à une surface gauche donnée. 



Dans le premier mode la surface la plus simple est celle qui est engendre'e par une droite 

 s'appuyant sur trois droites: c'est l'hyperboloide à une nappe, qui a pour second mode de 

 ge'nération, une droite s'appuyant sur deux droites et se mouvant parallèlement à un cône 

 du second degré. 



Dans le second mode, la surface la plus simple est celle qui est engendrée par une droite 

 s'appuyant sur deux droites, et parallèlement à un plan , c'est le paraboloïde hyperbolique, 

 qui a pour second mode de génération, une droite s'appuyant sur trois droites parallèles à un 

 même plan. 



En ayant égard à la double génération en ligne droite dont ces deux surfaces sont suscep- 

 tibles, on voit que la surface conique à laquelle les diverses génératrices du premier ou second 

 système se trouvent parallèles, est pour l'hyperboloïde un cône du second degré , et pour le 

 parabolo'ide le système de deux plans. 



La construction des génératrices d'une surface gauche, dans le prem.ier ou le second mode 

 de génération offre des dissemblances que l'on doit faire remarquer. 



Dans le premier mode. On prend un point m sur la courbe C, et on le regarde comme le 

 sommet commun de deux cônes ayant poïir base l'un la courbe C, l'autre la courbe C', ces 

 deux cônes se coupent suivant les diverses génératrices de la surface qui se croisent au point 

 m. Ainsi pour construire les génératrices, on emploie deux cônes variables de forme, dont 

 le sommet commun est mobile sur la courbe C, et dont les bases sont fixes. 



Dans le second mode. On prend un point m sur la courbe C , on transporte le cône direc- 

 teur D, parallèlement à lui-même en D', de manière que son sommet devienne le point m; 

 l'on regarde ce poiut w, comme le sommet d'un second cône ayant pour base la directrice C 

 et l'intersection de ce cône et du cône D' détermine les génératrices de la surface. Ainsi pour 

 construire les génératrices ou emploie deux, cônes dont le somiiiet cuminua et mobile parcourt 

 la courbe C , mais l'un de ces cônes est invariable de forme, tandis que l'autre ayant une base 

 fixe , change conlinueîlement de forme. 



Dans les applications aux arts ou rencontre quelquefois des surfaces gauches déterminées 

 par le second mode de géne'ration, telle est, par exemple, la surface de joint du trompillon , 

 dans les trompes. ; ' . . ; . 



On est obligé, pour appliquer le trait sur la pierre, de construire des panneaux quinécessi- 

 tent la construction des courbes intersections de la surface par des plans diversement inclinés, 

 et l'on sait que souvent , pour mieux déterminer la forme d'une courbe d'intersection, on 

 construit ses tangentes. 



Ainsi il'doit être utile de savoir construire le plan tangeiit en un point d'une surface gauche 

 déterminée par le second mode de génération. Je âe sache pas que l'on se soit occupé jusqu'ài 

 présent de cette question. ; ■■ - '^^ 



J-e-sapposeune-surfaGe-gau«he-doQné»-pa*-seQ-^n€-direetetirD-et-s6s deux courbes direc- 

 tri\ç(es,^jPjS,t.,jCî;,,, J^op„;\5^)i| jBJi.^jjïj, E%ty.,?çt,4;pji,ie g^'qérMriçe. Q,,de;j:ettejS.urface copstruire' 1® 

 pl3ailangent, .!■,, , ■ . -i , ;.■■ ;. :,,,.. ,■.:; '■■^:.'^.: - . ■■ . ' 



Sur lé cône D il existe une génératrice g*.pQrâJlèle à- G, et qui est connue d« posit'ioTi. 



fja droite G coupela courbe C en uu poini a, etla courbe C en ini' point 'cr. 



