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Je mène les tangentes t à la courbe C au point a , t' à la courbe C' au point a'. 



Il existe une infinité de paraboloïdes tangents à la surface gauche suivant la génératrice G, 

 parmi lesquels il en est un qui est engendi.é par la droite G se mouvant sur les deux tangentes 

 t et l'; l'on pourrait construire ce paraboloïde, et par suite le plan tangent au point m, si 

 l'on connaissait le plan directeur Q du m.ouvemeut de la droite G. 



Remarquons que tout paraboloïde tangent doit contenir deux génératrices infiniment voi- 

 sines G et G' de la surface gauche, et que le plan Q sera déterminé si l'on connaît les deux 

 droites G et G' puisqu'il leur sera parallèle; or , en vertu de la génération de la surface gau- 

 che, G a pour parallèle sur le cône D, la génératrice §•, G' aura donc aussi pour parallèle la 

 génératrice ^ infiniment voisine de g. Tout plan tangent à un cône contient deux génératrices 

 infiniment voisines; donc en construisant le plan T tangent au cône D suivant g, l'on aura 

 le plan directeur du paraboloide; ainsi la droite G en se mouvant sur t et t' parallèlement à 

 T engendrera un paraboloïde tangent, à la surface donnée, suivant G. 



La considération que je viens d'employer, de deux génératrices infiniment voisines, 

 conduit aussi à déterminer les divers points de la courbe de gorge d'une surface gauche 

 générale. 



On appelle ligne dégorge d'une surface gauche la ligne la plus courte que l'on puisse tracer 

 sur la surface, pour passer d'une génératrice aux diverses génératrices successives et infini- 

 ment voisines. 



Il est évident que si l'on considère deux génératrices infiniment voisines; comme dans les 

 surfaces gauches , elles ne se coupent pas , la plus courte distance entre ces deux droites sera 

 l'élément rectiligne de la courbe cherchée. 



Par deux génératrices infiniment voisines G et G' d'une surface gauche, passent une in- 

 finité de paraboloïdes tangents , tous excepté un , sont obliques , un seul est rectangulaire. 



L'on sait que, dans tout paraboloïde rectangulaire, les deux génératrices de systèmes 

 dillérents qui se croisent an. souiuict^ jouissent de ta propriété suivante; la génératrice du 

 premier système, coupe normalement toutes les génératrices du second, e< oi/ce -2;erja.. 



Il faudra donc construire le sommet du paraboloïde rectangulaire tangent à la surface 

 gauche suivant la génératrice G, et l'on aura en ce sommet un point de la courbe 

 cherchée. 



L'on pourrait, dans certains cas , employer le paraboloïde normal à la surface gauche sui- 

 vant la génératrice G: car l'on sait que ce paraboloïde normal est toujours rectangulaire, 

 et que son sommet est placé sur la droite G , au point eu lequel est situé le sommet du para- 

 boloïde rectangulaire tangent. 



M. Hachette, à qui la géométrie descriptive doit un si grand nombre de solutions élégantes, 

 a donné une construction remarquable du sommet d'un paraboloïde dont on connaît un 

 des quadrilatères gauche (voir le Bulletin de la Société Philomatique , 1882 , séance du 

 3 mars ). 



La construction de la courbe de gorge d'une surface gauche, permettra maintenant de 

 construire , en n'employant que des droites et des plans , l'axe d'un hyperboloïde à une 

 nappe, déterminé par ses trois droites directrices. 



En effet: L'on sait construire le centre o delà surface au moyen de trois plans assymptotes 

 (voir la Géométrie descriptive de M. Hachette ), il suffira donc de construire les sommets 



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