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On doit faire remarquer que les sections coniques doivent avoir toutes un centre, ou 

 être toutes des paraboles. 



Cela posé: considérons deux surfaces du second ordre ayant un diamètre commun D, et 

 en l'une de ses extrémités un plan tangent commun T. 



Par un point o arbitrairement choisi sur D, menons un plan P parallèle à T, lequel coupera 

 les deux surfaces suivant deux seciions coniques A. et B ayant toujours un centre , et pour 

 centre commun le point o, parce que tout plan passant par le diamètre D coupera l'une et 

 l'autre surfaces, soit qu'elles aient un centre commun, soit qu'elles se trouvent deux para- 

 boloides , suivant une courbe ayant pour corde conjuguée du diamètre D, la droite intersec- 

 tion du plan P et du plan sécant. ' 



Ces deux courbes se couperont donc en t^ points , ou pourront se toucher en 2 points ; 

 désignons dans le premier cas les 4 points d'intersection par a, a', b, V; Il est évident 

 qu'ils seront unis 2 à 2 par deux droites ab , a'b' se croisant au centre commun o. 



Je dis que les deux surfaces se couperont suivant deux courbes planes dont les plans ne 

 seront autres que ceux déterminés par D et «Z> , D et a'b'. 



En effet : concevons par D une snite de plans sécants V, V','V", etc., coupant les deux 

 surfaces, le premier V suivant deux sections coniques E et E'; V suivant H et H'; V" 

 suivant G et G'; etc., de plus V coupera le plan tangent T suivant la droite i tangente 

 commune à É et E' ; V suivant t' tangente à H et H'; V" suivant i" tangente à G 

 et G' ; etc. 



Enfin V coupera la plan P suivant <i parallèle à iy V suivant d' parallèle à t'; V suivant 

 d" parallèle à t", etc. 



Cela posé t coupons tout le système par un plan Q parallèle au plan P. Ce plan coupera 

 la première surface donnée suivant une section conique a semblable à A, et la seconde 

 surface suivant S semblable à B. 



Ce même planQ coupera "V suivant une droite S parallèle a d; "V suivant S' parallèle à 

 d'; "V" suivant S" parallèle à d"; etc. 



Projetons maintenant les courbes et les droites situées sur les divers plans V, V", etc., 

 surle plan V, au moyen de droites parallèles entr' elles et au plan P; on aura dès-lors sur le 

 plan V, une suite de sections coniques E, E', Hp, IVp , Gp, Q'p, etc., qui auront toutes 

 un diamètre commun D, et en l'une de ses extrémités même tangente t: car les tangentes 

 t' t" etc., se projèteront toutes suri; de même les droites S', S", etc., se projetèrent 



toutes sur S. 



On pourra donc déterminer sur le plan V les deux points de concours B. et R', et il est 

 évident que les cordes qui, sur le plan V ont les points R et R' pour points de concours , sont 

 les projections obliques des génératrices des 2 cônes qui uniront les courbes a et A, et des 2 

 cônes qui uniront les courbes § et B. 



Lorsque deux cônes ont même sommet ils se coupent suivant des génératrices, les deax 

 cônes qui auront leur sommet en R se couperont donc suivant 4 génératrices partant des 4 

 points a, b, a', V, intersections des deux courbes A et B; par conséquent les deux courbes 

 a et g se couperont en 4 points situés 2^2 sur les plans (D,aè)et (D, a'b'), c. g.f. D. 



Les deux courbes A et B, au lieu de se couper, pouvant avoir 2 points de contact, on doit 

 en conclure: que, lorsque deux surfaces du second ordre ont un diamètre commua et en 



