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4". 11 est facile de demonirer que les divers cylindres concentriques au i" couperont 1 

 cône C suivant des he'iices , et de conclure de là que la spirale hyperbolique peut être 

 gardée comme engendrée de la manière suivante : 



Étant donné un point o comme point assymptote, on trace la droite o/n , et une seconde 

 droite D coupant om au point m. 



Du point comme centre commun , on décrit les cercles c , c' , c' , etc. , coupant om res- 

 pectivement aux points a, a', a" , etc. j on mène les ordonnées de D , ai , a'b' , ab" , etc. , 

 om étant regardé comme l'axe des abscisses ; puis on enroule ces ordonnées sur les cercles 

 respectifs; les origines des développantes engendrées par les points h , b' ,b", etc. , de D , 

 forment une spirale hyperbolique. 



5». On déduit de ce qui précède des procédés graphiques simples pour la solution des 

 problèmes suivans : 



Etant donné le point assymptote d'une spirale hyperbolique : 



Construire cette courbe, i° étant donné deux points j 2° un point et une tangente; 5° une 

 tangente et le point de contact. 



Spirale d' Archimède Etant donné un cylindre de révolution ayant un axe A, et sur ce 



cylindre une hélice H, on construit la surface gauche hélicoïde engendrée par une droite se 

 mouvant sur l'iiélice H et l'axe A et perpendiculairement à cet axe. 11 est évident que tout 

 cône de révolution ayant son sommet sur l'axe A et pour axe de révolution la droite A, cou- 

 pera l'hélicoïde gauche suivant une courbe dont la projection orthogonale sur un plan per- 

 pendiculaire à A sera une spirale d'Archimède. 



Cette manière de considérer cette spirale permet de lui construire géométriquement la 

 tangente en un de ses points, puisqu'elle ne sera que la projection delà tangente à la courbe 

 à double courbure, droite qu'il sera facile de construire, puisqu'elle sera donnée par l'inter- 

 section des plans tangens au cône droit et à la surface hclicoïde gauche. 



La comparaison de triaugles semblables conduit sur-lechamp à ce résultat; savoir^ que 

 pour cette spirale la sous-normale est constante. 



Spirale logarithmique. — L'on sait que cette courbe jouit de la propriété de couper ses 

 rayons vecteurs sous un angle constant. 



Je nie propose de rechercher les propriétés géométriques d'une semblable courbe ^ quoi- 

 que je ne sache pas la tracer géométriquement, et sans avoir besoin de recourir à son 

 équation , t=^lu. 



Pour cela : je suppose une semblable courbe tracée sur un plan, je l'enroule sur un cône 

 de révolution C^ elle se transformera en une courbe à double courbure B dont la projection 

 B' , sur un plan perpendiculaire à l'axe A du cône C , sera une spirale du même genre. 



La courbe B coupe évidemment sous un angle constant les génératrices du cône C; on en 

 conclut que les diverses tangentes à la courbe B font avec l'axe A un angle constant j par con- 

 séquent B est une hélice sur le cylindre. ayant B' pour section droite. 



Cette propriété conduit à une construction graphique simple de la tangente en un point 

 d'une spirale logarithmique , le point origine de cette courbe étant connu. 

 . Par des constructions graphiques à trois dimensions, je démontre sur le champ que la dé- 

 veloppée d'une spirale logarithmique est une courbe identique. 



Pour cela : on considère les diverses tangentes à la courbe à double courbure B, elles for- 



