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ment une surface de'veloppable D que l'on coupe par un plan P , passant par le sommet du 

 cône C et perpendiculaire à son axe. La courbe d'intersection b sera la développante de la 

 courbe B puisque B est une hélice. Donc la projection b' de b sur le plan de la courbe B' sera 

 la développante de la courbe B'. 



Il est facile de lire sur la figure à trois dimensions que la courbe b coupe sous un angle 

 constant ses divers rayons vecteurs , que cet aiigle est le même que celui sous lequel B' coupe 

 ses rayons vecteurs, et que le point origine de b' est la projection du sommet du cône C sur 

 le plan de la courbe B'. 



Donc b' a même point origine que B' , et coupe ses rayons vecteurs sous le même angle que 

 B' j donc , etc. 



La figure construite dans l'espace montre sur-le-champ que : 



(Désignant par L l'angle sous lequel B' coupe ses rayons vecteurs, par ni un point de celte 

 courbe et par o le point origine). 



1°. Si du rayon om et du point o comme centre on décrit un cercle M , la développante A 

 de B' ayant m pour point de rebroussement , coupera sous l'angle L , les diverses tangentes 

 au cercle M. 



2°. Si l"'on regarde M comme la projection d'une hélice H, le cylindre ayant d pour section 

 droite coupera l'hélicoide développable ayant H pour arête de rebroussement, suivant une 

 courbe d' qui coupera les génératrices de cette surface développable sous un angle constant. 

 3°. La courbe d' sera une hélice sur le cylindre ayant d pour section droite. 

 4°- Si l'on prend un point n sur la courbe d et que Ton construise la développante N du 

 cercle M, laquelle passe par ce point n ; la développante d^ de d ayant n pour point de re- 

 broussement, coupera sous l'angle L les tangentes à N. 



5°. Et si l'on considère N comme la projection d'une hélice h, le cylindre ayant d^ pour 

 section droite coupera l'hélicoide ayant h pour arête de rebroussement suivant une courbe d'', 

 qui coupera les génératrices de cette surface développable sous un angle constant. 

 6°. La courbe d" sera une hélice sur le cylindre ayant «?' pour section droite. 

 Et les mêmes propriétés se reproduiront jusqu'à l'infini, en considérant successivement la 

 développante des développantes de dés'eloppantes , etc. , des courbes B' et M. 



Rayon de courbure des trois spirales. Il est facile de ramener la construction du rayon de 

 courbure en un point de l'une quelconque des trois spirales, à celle du rayon de courbure en 

 un point d'une section conique dont les axes et le centre sont connus. 

 En effet : 



Pour la spirale hyperbolique , désignant la courbe par M, son point assymplote par o , le 

 point en lequel on veut construire le rayon de courbure par m , par h. une droite passant par 

 et perpendiculaire au plan de la spirale; il est évident que si l'on considère un cône C de 

 révolution ayant son sommet en S sur A et A pour axe ; le cylindre D ayant M pour section 

 droite, coupera ce cône C suivant une courbe à double courbure M', laquelle sera une spirale 

 hyperbolique conique, et tel que si l'on développe le cône C, la courbe M' se transformera 

 en une spirale hyperbolique plane. 



Désignons par m' le point de M' qui a pour projection le point m de M, les diverses tan- 

 gentes à la courbe M' formeront une surface développable qui sera coupée par le plan P pas- 

 sant par le sommet S et perpendiculaire à l'axe A , suivant un cercle ayant S pour centre et 



