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un rayon égal à celui que cle'crit le pied de la sous-langente de la courbe M. Cette proprie'te' 

 permet de construire le plan R osculateur de M' pour le point m'. Ce plan R coupera le cône 

 C suivant une section conique B , dont il sera facile de déterminer les axes et le centre , puis- 

 que le cône C est de révolution j le rayon de courbure de B au point ni sera le rayon de cour- 

 bure de M' pour le même point. 



Projetant Ben b sur le plan delà courbe M, le rayon de courbure de i pour le point m sera 

 celui de M pour le même point. 



Pour la spirale cVJrchiinède , on fera des constructions identiques , et en vertu de ce que 

 la sous-uormale est constante, on trouve que le plan P coupe la surface développable ayant 

 M' pour arête de rebroussement , suivant une spirale parabolique du i" ordre. On sait con- 

 struire la tangente en un point d'une semblable spirale, on pourra donc toujours construire 

 avec facilité le plan osculateur R. Donc, etc. 



Pour la spirale logarithmique , on fera encore des constructions identiques , et comme l'on 

 sait que le plan P coupe la surface développable qui a M' pour arête de rebroussement sui- 

 vant une courbe identique à M , connaissant l'angle L sous lequel M coupe ses rayons vec- 

 teurs , il sera facile de construire le plan osculateur R , donc , etc. 



Trace mécanique de la spirale logarithmique. Les propriétés dont jouit la spirale loga- 

 rithmique conique permettent de tracer par un mouvement continu et mécaniquement la 

 spirale logarithmique plane. Pourcela, on prend un cône de révolution en bois, on place son 

 sommet S au point origine delà courbe , et on le fixe invariablement dans une position telle 

 que son axe A. soit perpendiculaire an plan de la feuille de papier sur laquelle on doit tracer 

 la courbe. 



Ou prend ensuite une petite planchette rectangulaire que l'on applique tangentiellement 

 au cône. Dans cette position , l'arête inférieure B de la planchette passe par le sommet S , et 

 l'arête supérieure B' parallèle à B et dès-lors horizontale, se trouve tangente au cercle C, 

 base du cône immobile. 



On fixe au sommet S un fil de soie ^ qui se trouve fixé par son autre extrémité en un point 

 m de l'arête B' de la planchette. 



Le fil de soie étant tendu et appliqué en toute sa longueur sur la planchette , le sommet S 

 correspond à un point /j de l'arête E. 



Et l'on volt que le fil de soie se projette orlhogonalement sur leplan du papier, suivant une 

 ligne D qui fait avec B un angle, complément de celui que D fait avec la ligne passant par S 

 et menée perpendiculairement à B. 



Cela établi , on fait glisser la planchette de manière qu'elle reste tangente au cône, que son 

 arête passe toujours par le point S , et que le fil de soie, en s'enroulanl sur le cône , reste 

 toujours tendu en sa partie non enioulée étant placé sur la planchette en faisant toujours le 

 même angle avec B. 



Dans ce înouvement, le point p décrira sur le papier une spirale logarithmique coupant 

 ses rayons vecteurs sous un angle égal au complément de l'angle que font entre elles les droi- 

 tes D et B. 



En changeant la position du point m sur B', on fera varier l'angle (D, B), et il sera facile 

 de diviser la droite B', de manière que l'on puisse fixer la position du point m, de façon à 

 avoir pour l'angle (D , B) toute valeur assignée. 



