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Note sur Ihyperholoïde Oiculaleur, par M. Théodore Olivier. 



L'on sali que c'est à M. Hachette que l'on doit la construction ge'ométrique de l'hyper- 

 boloïcle à une nappe, osculateur suivant la ge'nératrice droite d'une surface gauche. (Voir le 

 traité de géométrie à trois dimensions, publié en 1817 par M. Hachette, page 83.) 



Cette construction très-simple consiste à prendre trois points arbitraires , m, m! , m" , sur 

 sa génératrice G, suivant laquelle l'hyperboloïde doit osculer la surface; à mener à la surface 

 trois plans 1 , T', T", respectivement tangens en chacun de ces points ; ces plans coupent res- 

 pectivement la surface suivant trois courbes C , G, C", et leurs tangentes respectives mt , 

 m'i', m"i" , sont les trois directrices droites de l'hyperboloïde osculateur cherché. 



Jusqu'à présent , on n'a point examiné les cas où cette surface osculatrice ne pourrait pas 

 exister ; et déterminé dès lors , le caractère auquel on reconnaîtra que suivant une généra- 

 trice donnée d'une surf;;ce gauche , il y aura ou non un hyperboloïde osculateur. Je me pro- 

 pose de discuter le problème dans toutes les particularités qu'il peut présenter; et je ferai 

 remarquer en même temps qu'il n'arrive pas toujours , quoique l'hyperboloïde osculateur 

 existe, que les courbes C , C, C", aient un point d'inflexion aux points respectifs m, m, m''. 



Supposons que par une droite G l'on fasse passer trois plans P, P', P"; traçons sur P une 

 courbe C coupant G au point m , et en ce point m la tangente Jiit à la courbe C ; traçons en- 

 suite sur P' la courbe C et sa tangente m'i' , sur P" la courbe C" et sa tangente m'U"; les 

 trois courbes C, C, C, n'ayant chacune qu'un contact du premier ordre avec leur tangente. 



Il est bien évident que la droite G en se mouvaiît sur ces trois courbes engendrera une 

 surface réglée qui n'aura pas d'hyperboloïde osculateur suivant G. 



Supposons maintenant que les trois courbes C, C, C".. aient chacune un contact du second 

 ordre avec leur tangente, l'hyperboloïde osculateur existera, si les trois tangentes ne sont 

 pas parallèles à un même plan; mais si ces trois tangentes sont parallèles à un même plan , 

 l'hyperboloïde se changera en un paraboloïde Ijypcrbolique osculateur.Et remarquons qu'une 

 courbe peut avoir un contact du second ordre avec sa tangente ^ .sans pour cela avoir en ce 

 point une intlexion ; elle peut présenter unpoint méplat. 



D'après cette discussion à priori, l'on voit que : 



Suivant une génératrice donnée d'une surface gauche, il n'existe pas toujours une surfice 

 gauche du second. ordre , osculatrice ; que lorsque celte surface existe, elle peut être dans 

 certains cas un hyperboloïde à une nappe , dans d'autres un paralioloïde hyperbolique ; que 

 lorsqu'il n'y a pas de surface osculatrice , c'est qu'un plan tangent quelconque à la surface 

 donnée et mené par la génératrice donnée, coupe cette surface suivant une courbe qui n'a 

 qu'un contact du premier ordre avec sa tangente, ou en d'autres termes un rayon de cour- 

 bure qui , ])our le point de contact , n'est ni nul ni infini, et nous verrons pUis loin que h 

 courbe peut avoir au point de contact un rayon de courbure nul; que lorsqu'il y a une sur- 

 face osculatrice , c'est que la courbe, intersection de la surface donnée par un plan tangent 

 quelconque, a un contact du second ordre avec sa tangente, ou en d'autres termes un rayon 

 de courbure infini pour ce point, de sorte que la courbe offre en ce point ou une inflexion ou 

 un méplat. 



En considérant le second modo de génération dont toute surface gauche donnée p.ir Iroi; 

 courbes directrices est susceptible^ par conséquent, en con-truisant le cône directeur de la 



