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surface gauche , on peut avec bien plus de facilité discuter les divers cas qui peuvent se pré- 

 sentLT. 



En effet : 



Désignons par D le cône directeur ; l'on sait que chaque génératrice de ce cône a pour pa- 

 rallèle une des génératrices de la surface gauche donnée ; désignons par g- la génératrice du 

 cône et par G la génératrice qui lui est parallèle et qui appartient à la surface gauche , et 

 suivant laquelleon veut construire une surface gauche du second ordre osculatricej coupons le 

 côneD par un plan quelconque P, l'on aura une courbe A., et sur cette courbe un points, ren- 

 contre de plan P et de la génératrice g- ; enfin , menons at , tangente à la courbe A au point a. 



Cela posé : 



L'on sait que tout hyperboloide à une nappe a pour cône directeur un cône du second de- 

 gré ; que tout paraboloïde hyperbolique, a pour cône directeur le système de deux plans; 

 que si deux surfaces réglées sont osculatrices l'une à l'autre suivant une génératrice com- 

 mune, leurs cônes directeurs étant supposés avoir même sommet, seront aussi osculateurs 

 l'un à l'autre. 



Par conséquent : 



S'il existe un hyperboloide osculateur suivant G , il faudra que l'on puisse construire un 

 cône du second ordre osculateur au cône D suivant g, 11 faudra donc que la courbe A ait au 

 point a un rayon de courbure qui ne soit ni nul ni infini. 



Si au contraire il existe un paraboloïde hyperbolique osculateur, il faudra que l'on puisse 

 construire un plan osculateur au cône D suivant g. Il faudra donc que la courbe A ait au 

 point a un rayon de courbure infini , donc en ce point la courbe A pourra présenter ou une 

 inflexion ou un méplat. 



Enfin , si suivant G il n'existe pas de surface gauche du second ordre osculalrice , il faudra 

 que A ait un rayon de courbure nul pour le point aj qu'elle ofl're dès-lors en ce point ou une 

 inflexion du premier or Ire (c'est-à-dire qu'elle n'ait qu'un contact du premier ordre avec sa 

 tangente, l'inflexion existant ) ou bien un point rebroussement de première ou de deuxième 

 espèce. 



E' comme la surface gauche, du second ordre, osculatrice à une surface réglée suivant 

 une de ses génératrices G, détermine la courbure de celte surface en chacun des points de la 

 droite G, on doit conclure, puisque cette surface osculatrice n'existe pas, que dans ce cas , 

 la surface réglée a ses rayons de courbure, maxisnura et minimum, nuls en chacun des points 

 de la génératrice G. 



Lorsqu'une courbe a pour un de ses points un rayon de courbure nul , elle offre en ce 

 point un rebroussement ou une inflexion, la tangente en ce point n'a pas un élément recti- 

 ligne commua avec sa courbedans le cas de rebroussement; il n'y a réellement qu'un seul 

 point commun, entre la courbe et sa tangente; la tangente est alors une véritable sécante, 

 mais ayant une pojiiion toute spéciale par rapport à la courbe. Dans le cas de l'inflexion , 

 la tangente a un élément rcctiligne commun avec sa courbe. 



jMous devons conclure delà, que lorsqu''une surface réglée aura ses rayons de courbure 

 nuls , en le; divers points d'une de ses génératrices G (et il suffit que l'on ait trouvé que les 

 rayons de courbure étaient nuls en trois points de la génératrice , pour être assuré qu'ils le 

 seront en tous les nuirez) , il y aura une infinité d'iiyperboloides ou de paraboloïdes gauches 



