(H) 



lia second ordre , taugeus suivant G , mais n'ayant que la génératrice G en commun avec la 

 surface réglée, si trois plans tangens arbitraires menés suivant G coupent la surface suivant 

 une courbe oifrant un rebroussement au point de contact (et si cela a lieu pour trois plans 

 lisngens, cela aura lieu pour tous les autres). 



Et au contraire tous les liyperLoloïdes et paraboloïdes langens suivant G auront deux gé- 

 nératrices successives et infiniment voisines en commun avec la surface réglée, si trois plans 

 langens arbitraires menés suivant G coupent, chacun, la surface suivant une courbe offrant 

 une inflexion ou un point ordinaire, au point de contact, pour lequel la tangente à cette 

 courbe aurait un seul élément rectiligne commun avec elle. 



Mais quoique dans ce cas particulier (du rayon de courbure nul en tous les points de la 

 génératrice G) il n'y ait ni hyperboloïde ni paraboloïde osculateur , cependant il existera 

 toujours ou une hyperboloique ou un paraboloïde qui jouira de la propriété particulière à 

 la surface osculalrice du même ordre. 



Savoir : que si l'on mène une série de plans tangensà lasurface régléesuivant la génératrice 

 G , ces plans couperont la surface suivant des courbes dont les tangentes aux points de contact, 

 formeronttoujoursouunbyperboloide, ou un paraboloïde, tangent à la surface réglée suivant G. 



Mais on ne pourra reconnaître si la surface tangente est un hyperloide ou un paraboloïde, 

 qu'en considérant trois sections de la surface réglée, faites por trois plans tangens arbitraires 

 menés par G; si les tangents sont parallèles à un même plan, on aura un paraboloïde, autre- 

 ment on aura un hyperboloïde; et je le répète, la courbe A. base du cône directeur de Ja 

 surface réglée ne peut rien indiquer, dans ce cas, parce que le rayon de courbure est nul 

 pour le point singulier , que cette courbe présente au point que l'on considère. 



En résumé : 



1° Si une surface gauche S a un cône directeur D, tel que la courbe de section de ce cône 

 D par un plan quelconque, n^olTre aucun point singulier, il y aura suivant chacune des gé- 

 nératrices de S; un hyperboloïde osculateur. 



1° Si une surface gauche S a un plan directeur P, il y aura suivant chacune des génératrices 

 de la surface S, un paraboloïde osculateur. 



Conslriiction géométrique du rayon de courbure en un point d\ine courbe , pour lec/uel 



on connaît la tangente ci la courbe. 



Soit donné une courbe plane C; un point m sur cette courbe et sa tangente mt au point 

 m i on demande le rayon de courbure de la courbe C pour ce point m. 



La, solution de ce problème devient facile, en vertu de ce j'ai dit précédem-ment sur 

 l'hyperboloïJe oîcu'aîeur d'une surface gauche, et sur le cône directeur que possède toute 

 surface réglées 



En effet: 



Concevons hors du plan de la courbe C un point S comme sommet d'un cône D ayant 

 pour base la courbe C; joignons S et m par une droite g- qui sera Tune des génératrices 

 du cône D. Prenons sur g deux points arbitraires n et n' et menonî deux droites arbi- 

 traires Npar !i, IN' par/i'. Nous pourrons regarder N et N' comme les directrices d'une surface 

 réglée ayant U pour cône directeur, g étant une des génératrices droites de cette surface 

 réglée. Suivant g-, il y aura un hyperboloïde osculaieur H de la surface réglée, puisque 



