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nous supposons que le point m n'est pas un point singulier sur la courbe C, parconsé- 

 quent l'hyperboloïde II aura un cône directeur du second degré cl, nous pourrons tou- 

 jours supposer que son sommet soit en S , et dès-lors ce cône d sera osculateur du cône D 

 suivant s. Le plan de la courbe C coupera donc le cône d suivant une section conique B 

 osculatrice de C en m. Le rayon de courbure de B au point m sera donc le rayon de cour- 

 bure de C pour le même point. 



Cinq condiiions suffisent pour déterminer une section conique , quatre points et une tan- 

 gente. On connaît déjà le point /m et la tangente ml; construisons trois autres points. 



Menons par le sommet S deus. droites M et M' respectivement parallèles à N et K'^ elles 

 seront des génératrices du cône de\. ces droites couperont le plan de la courbe C aux points/? 

 etp qui appartiendront à la section conique B. 



Pour obtenir le quatrième point, il faudra par un point arbitraire q de la droite g faire 

 passer un plan tangent à la surface réglée, lequel coupera cette sm-face suivant une courbe 

 A qu'il faudra construire par points et lui mener au point cj une tangente T; par le som- 

 met S mener la droite T' parallèle à T, laquelle coupera le plan de la courbe C en un point 

 t' qui appartiendra à la section conique B, dont on connaîtra dcs-lors les trois points rigou- 

 reux p^ p', m , la tangente rigoureuse mt, et un quatrième point V qui peut être erroné en 

 sa position, puisqu'il faut mener à vue une tangente T au point 7 de la section A. Le rayon 

 de courbure p de la section conique B sera donc altéré en sa véritable longueur. 



Alais l'on pourra prendre un autre point q' sur g et faire la même construction, on aura 

 donc un quatrième point l" qui ne sera pas situé sur la même section conique B , mais sur 

 une autre section conique B' passant par les quatre points p, p' . m. l" et ayant la tangente 

 mt ^ on prendra le rayon de courbure p' de B' et l'on pourra ainsi avoir les rayons de cour- 

 bures d'une suite de sections coniques ayant trois points communs p, p , m, une tangente 

 commune ml et toutes tangentes entr'elles et àla courbe C au point m. 



La moyenne de ces rayons de courbure donnera le rayon de courbure de C^ avec une ap- 

 proximation sulllsante pour les arts graphiques. 



( M. Hachette a employé une marche analogue pour construire la tangente en un point 

 d''une courbe. Voir son Traité de Géométrie à trois dimensions, page 58. ). 



Ainsi l'on peut ramener la détermination géométrique du rayon de courbure d'une courbe 

 plane quelconque à celle du rayon de courbure d'une section conique dont on connaît qua- 

 tre points et une tangente. 



Consiruclion géométrique de la courbe de gorge d'une surface réglée. 



La solution que j'ai donnée à la Société dans sa séance du 1'='^ décembre i832 eu inexacte. 



Le sommet du paraboloïde normal suivant une génératrice de la surface gauche , n'est un 

 point de la courbe de gorge, qu'autant que l'hyperboloïde osculateur suivant celte généra- 

 tiice, est de révolution , ou que le paroboloïde osculateur est rectangulaire. Je vais exa- 

 miner de nouveau le problême. 



Je considère d'abord un hyperboloïde à une nappe, non de révolution, H. On voit strr-le- 

 champ que suivant une génératrice G de cette surface passent une infinité d'hyperboloïdes de 

 révolution tangens entre eux et à la surface donnée suivant G, et dont les axes de rotation ne 

 sont autres que les diverses génératrices du paraboloïde normal construit sur G. 



