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Il est facile de voir que si G ne passe pas par l'un des quatie sommets de l'ellipse dégorge, 

 le paraboloïde nomial n'aura aucune de ses ge'nératrices du même système que G perpen- 

 diculaire au plan de l'ellipse de gorge , par conséquent comme pour tous ces hyperbo- 

 loïdes de révolution , le sommet du paraboloïde normal est un des points de leur cercle de 

 gorge, il s'en suit que les somniels des divers paraboloïdes normaux de H ne seront pas 

 situés sur l'ellipse de gorge de H, excepté pour ceux qui sont menés suivant les généra- 

 trices se croisant aux quatre sommets de celle ellipse de gorge. 



La courbe formée parles sommets des paraboloïdes normaux, est composée de deux bran- 

 ches fermées et à double courbure , symétriquement placées par rapport au plan de i'ellipse 

 de gorge, et se croisant aux quatre sommets de celte ellipse. 



Si nous prenons le centre S de l'ellipsoïde H, et que par ce point , et par chacune des 

 normales menées à H en les divers points de G nous fassions passer des plans, tous seront 

 tangens au paraboloïde normalsuivant G. Tous ces plans seront les enveloppées d'une sur- 

 face enveloppe tangente au paraboloïde normal. Cette surface enveloppe sera un cône D 

 du second degré tangent au paraboloïde suivant une section conique (parabole ou h3^perLole). 

 Remarquonsque leplan del'ellipse dégorge passe parune des normalesà la surface H, el qu'il 

 esl perpendiculaire au plan tangent mené suivant G lequel a pour point de contact avec H, le 

 point où G coupe l'ellipse de gorge, par conséquent le plau de gorge sera tangent au 

 cône D. 



Si suivant une au lie génératrice G' ou menait le païaholoïde normal , on trouverait de 

 même un cône D' ayant S pour sommet, langent à ce même paraboloïde, et le pian de gorge 

 serait encore tangent à ce cône D . 



Ainsi riiyperbolûï le à une nappe, jouit de cette propriété, savoir: 



1° Que le plan de gorge est tangent à tous les cônes qui ayant leur sommet au centre de la 

 surface, son', tangens aux paraboloïdes normaux menés suivant les diverses génératrices de 

 la surface. 



Il est évident que si l'on considère deux génératrices de systèmes didérens G et g- paral- 

 lèles entr'ellcs , le cône langent au paraboloïde normal suivant G sera aussi tangent au para- 

 boloïde normal suivant g. 



Pour avoir le plan de gorge d'un hyperboloïde a une nappe, il faudra donc construire 

 deux paraboloïdes normaux N suivant G, N suivant G'j et par le centre S de la surface H, 

 consauire deux cônes D et D', tangens , l'un D à K'j l'autre D' à W'j puis par le point S mener 

 uu plan tangent commun aux deux cônes D et D', lequel sera le plan de. gorge demandé (i). 



Si donc on aune surface réglée, pour déterminer sa courbe de gorge, il faudra prendre 

 une généralrice G, construire l'hyperboloïde H osculateur suivant G, déterminer le plan 

 de gorge de H , lequel coupera G en un point a qui appartiendra à la courbe de gorge A. de 

 la surface réglée , et effectuer pour chaque génératrice les mêmes constructions. 



11 est bien évident que l'ellipse de gorge de l'hyperboloïde osculateur sera osculatrice de- 



(i) La construction des sections circulaires du cône oblique , donnée dans la séance du 19 janvier i853 , 

 devra donc Être modifiée en ce qui concerne la construction de l'axe de l'hyperboloïde ayant ce cône pour 

 surface assymptote, toutes les autres opérations graphiques indiquées étant exactes. 



