Si la surfac'-- gauche donnée avait yn plan directeur, l'on sait que l.i surfiice du second 

 ordre osculalricc suivant chacune de ses géncratrices serait un parabol-ïde hyperbolique; 

 il pourrait arriver que l'un de ces paraboloïdes osoulateurs tût jeciangulaire et que !a gé- 

 nératrice d'osculalion fût une ligne de gorge de ce par;iboloïde; dans ce cis, cette géné- 

 ratrice seiail une ligne d'égale courbure de la surface; de sorte que la surface n'ayant que 

 des paraboloïdes osculaleurs rectangulaires, si elle a des lignes d'égale courbure , ces li- 

 gnes ne pourront être que des génératrices droites de la surface. 



Et dans le cas où tous les paraboloïdes osculaleurs étant rectangulaires, leurs sommets 

 sont respectivement situés sur les génératrices respectives d'osculalion ; alors , toutes les gé- 

 nératrices droites de la surface gauche donnée seront des lignes d'égale courbure de cette 

 surface; et dés lors les lignes de courbure maximum et minimum de celle surface couperont 

 sous l'angle demi-droit toutes les génératrices droites de la surface proposée. (Nous indi- 

 querons plus loin une surface jouissant de celte propriété remarquable.) 



Toutes les fois qu'une surface gauche aura pour paraboloïdes osculaleurs, des paraboloïdes 

 obliques, elle possédera des lignes d'égale courbure, si toutefois le sommet de chacun d'eux 

 n'est pas situé sur la génératrice d'osculation, car alors tous les points d'égale courbure seront 

 situés à l'infini. 



Les lignes d'égale courbure d'une surface gauche pourront donc afl'ecler les formes sui- 

 vantes : un ou plu-ieurs points isolés et situés sur la ligne de gorge de la surface; une ou 

 plusieurs génératrices droites de la surface; des courbes /ermées où à branches infinies, et 

 la ligne de gorge de la surface coupera en deux parties égales les portions des génératrices 

 interceptées par les lignes d'égale courbure, si les hyperboloïdes osculaleurs sont tous de 

 résolution. 



Ceci permettrait donc, dans ce cas particulier, de construire p-r points la ligne de gorge 

 d'une surface gauche, lorsque l'on connaîtrait les lignes d'égale courbure. 



Les points d'égale courbure situés sur les surfaces gauches, font les homologues des points 

 ombilics des surfaces courues ; seulement pour les ombilics, comme les rayons de courbure 

 inaximum et minimum sontdirigésdans le mêmesens, la courbure de la surface est la même 

 tout autour de l'ombilic, ce qui n'a pas lien pour les surfaces gauches, parce que les rayons 

 de courbure maximum et minimum sonl dirigés en sens opposés , de sorte que tout autour 

 d'un point d'égale courbure , la courbure de la surface varie et diminue à mesure que le 

 plan normal s'approche de la génératrice droite de la surface, ou de celle du deuxième sys- 

 tème de la surface gauche du deuxième ordre osculatrice. Parles méthodes graphiques de la 

 géométrie descriptive, l'on ne peut encore déterminer la position des ombilirs des sur- 

 faces courbes, tandis que pour les surfaces gauches l'on peut, d'après ce qui précède , dé- 

 terminer avec facilité les points d'égale courbure. Il faut remarquer qu'une ligne d'égale 

 courbure divise toujours la surface en deux légions telles, que si d'un côté de celte ligne le 

 rayon de courbure maximum est par exemple au-dessus de la surface, de l'autre côté le 

 rayon de courbure maximum sera au-dessous; de sorte que la surface aura pourtou* ses 

 points placés d'un même côté de la ligne d'égale courbure , sesrayonsde courbure maximum 

 dirigés dans le même sens, el pour tous ses points situés de l'autre côté de la li»ne d'égal 

 courbure, tous les rayons de courbure maximum seront dirigés dans un sens opposé. 



