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 2° Lignes de courbure de fliélicolde gauche, surface du filet d'une vis carrée. 

 Si en un point M d'une génératrice G de l'hélicoïde gauche rectangulaire (ainsi nommé 

 parce que ses génératrices droites coupent reclangulairement sa directrice droite), l'on coos- 

 Iruit la taugenle T à l'hélice circulaire H passant par ce point M, l'on sait que le plan 

 tangent en M , déterminé par les deux droites G et ï, sera le plan osculateur de l'hélice II 

 pour le point M. Ce plan coupera donc la surface suivant une courbe G ayant mt-nie cercle 

 osculateur que l'hélice H , par conséquent, même tangent T pour le point M. Il en sera de 

 inême pour tous les autres points de la droite G; par conséquent l'on peut énflncer le théo- 

 rème suivant : 



La surface gauche du second ordre, oscutatria; de l'hélicoide gauche rectangitluire suivant une 

 de ses génératrices, est toujours un paraboLeide hyperbolique rectangulaire dont les génératrices 

 du. premier système sont les diverses tangentes aux hélices circulaires tracées sur la surface héli- 

 colde. (i) 



Ce qui a lieu pour une génératrice de l'hélicoïde a évidemment lieu et identiquement pn iir 

 toutes les autres génératrices; on peut donc, en vertu de ce qui précède, énoncer les théo- 

 rèmes suivants : 



1° Tous les paraboloides osculateurs sont rectangulaires et égaux pour l'hélicoïde rectangulaire 

 Le sommet de chaque paraboloïde osculateur est situé sur la directrice droite delà surface hé- 

 licoïde, au point où cette directrice est coupée par la génératrice d'osculation. Donc : 



2o Toutes les génératrices de l'hélicoide gauche rectangulaire sont des lignes d'égale courbure 

 sur cette surface. 



5° L'hélicoide gauche recUmgulnire a , en chacun de ses points , des rayons de courbure égaux- 



40 Les lignes de courbure maximum et viinimum de Lltélicoide gauche rectangulaire sont des 

 courbes identiques qui coupent sous l'angle demi-droit toutes les génératrices de la surface, et qui 

 se projettent sur un plan perpendiculaire d la directrice droite de la surface suivant des spirales 

 égales et passant toutes par le pied de la directrice. 



5° De la forme approximative des lignes de courbure d'une surface gauche. 



Dans les applications aux arts il pourrait être utile, dans plusieurs cas, de connaître , non 

 la nature et la forme rigoureuse des lignes de courbure d'une surface gauche, mais leur 

 forme approximative. Ce qui précède pourra, pour certaines surfaces, permettre d'arriver 

 à déterminer d'une manière suffisante pour la pratique, ta forme que doivent affecter leurs 

 lignes de courbure. Je prendrai pour exemple le conoïde ordinaire : 



Supposons la droite W verticale, et dans un plan vertical une ellipse E dont l'un de se.3 

 axes soit horizontal. Désignons par i et è' les sommets situés sur l'axe horizontal , paraet a' 

 les sommets situés sur l'axe vertical de cette ellipse. Le conoïde est engendré par une droite 

 qui se meut horizontalement en s'appuyant sur l'axe M et l'ellipse E. Je désigne par B et B', 

 A et A', les génératrices correspondant r-especlivetnent aux quatre sommets b et b', a er a'. 



Il est évident que tous les parabolordes osculateurs de la surface sont rectangulaires; que 



(i) M. Cliarles avait remarque depuis lonfr-icmps, mais sans le publier, cpie les tangeiUes aux liclices cir- 

 culaires de la surface du filet de t is carre' donnaient les gene'raLrices tUi paraboloïde osculateur. 



