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fUÎTnnt chacune des quatre génératrices B, B', A, A', la suiface n'a qu'un seul plan tangent 

 par conséquent, ces quatre droites sont quatre lignes de courbure minimum de la surface. 

 Ces quatre droites divisent la surface eu quatre régions symétriques, et les lignes de cour- 

 bure maximum et minimum de la région comprise entre B et A, seront , les premières, nor- 

 males à B et A, et les secondes tangentes à B et A. 



Maintenant, comme une ligne de courbure ne peut couper rectangulairement une géné- 

 ratrice d'une surface gauche, suivant laquelle l'élément de la surface est gauche, il s'ensuit 

 que la ligne de courbure maximum ayant coupé rectangulairement la droite B, seia forcée 

 de s'infléchir pour venir couper aussi rectangulairement la droite A, que par conséquent, 

 après avoir tourné sa convexité vers l'ellipse E , elle lui tournera sa concavité en passant de 

 B à Â. II en sera de même pour la ligne de courbure minimum. 



L'on voit que dans leur trajet, ces lignes de courbure seront forcées de couper sous 

 l'angle demi-droit une des g-énératriccs du conoïde comprise entre A et B ; dés lors cette gé- 

 nératrice remarquable sera une ligne d'égale courbure du conoïde. Il y a donc quatie droites 

 d'égale courbure; l'axe M sera une cinquième droite d'égale courbure. 



C'est en passant sur la droite d'égale courbure que les lignes de courbure s'infléchiront. 



Pour savoir, enfin, de quel côté les lignes de courbure tournent leur concavité, en partant 

 de la génératriceB, il faudra, pour un point, de la surface déterminer dans quelle direction 

 se trouve le rayon de courbure maximum ou minimum. 



On volt, d'après ce qui précède , que la ligne de courbure minimum se compose de quatre 

 droites et d'une courbe composée de quatre branches offrant chacune un point d'inflexion, 

 et que cette courbe a quatre rebroussements de première espèce alternativement tournés en 

 sens opposé, et que les quatre droites B, B', A, A', sont des tangentes en ces quatre points 

 singuliers. 



4° De la tigite de gorge des surfaces gauches. 



Ce que je viens de dire sur les lignes d"égale courbure d'une surtace gauche me conduit 

 à rectifier, en certains points, ce que j'ai dit touchant la ligne de gorge des surfaces gauches. 

 Ainsi, n° lo (voir la séance du a mars i833), j'ai dit que lorsque la surface gauche avait 

 tous ses paraboloïJesosculaleurs rectangulaires, leurs sommets étaient sur la courbe degorffç. 

 Cela ne peut avoir lieu, |la ligne do gorge étant une courbe plane ou ;\ double courbure, car il 

 faudrait impérieusement, dans ce cas, que le sommet du paraboloïde fût le point d'inter- 

 section de la génératrice d'osculation et de la courbe de gorge, de sorte que cette génératrice 

 serait une ligne d'égale courbure de la surface. On en pourrait dire autant pour toutes les 

 autres génératrices ; dès lors, la surface aurait, en chacun de ses points, des ravons de cour- 

 bure égaux, ce qui n'a lieu que pour l'hélicoïde gauche rectangulaire. Les énoncés nos u 

 et 12 sont exacts en lant que l'on sous-enlcud que les sommets des paraboloïdes oscuîateurs 

 lont en tfTct distribués sur la droite de gorge de la surface, mais que le sommet n'est que 

 dans certains cas et seulement pour certaines génératrices d'osculation situées au point en le- 

 quel la droite de gorge est coupée par la génératrice d'osculation. 



Je crois que l'on peut déûnir la courbe de gorge d'une surface gauche ainsi : La courbe 

 de gorge est l'enveloppe des ellipses de gorge des hyperbololdes osculaleurs. 



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