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ilonl les plans Jes sections circulaires sont respectivement perpendiculaires aux ceux droites 

 tlorinces. 



Ce tliéorème n'est qu'un cas particulier d'un théorème plus général que l'on peut 



énoncer de la manière suivante , et je ne sache pas qu'il soit énonce quelque part. Etant 



donné un cône du second degré ; si on lui mène deux plans tangents quelconques 



désignant par D leur intersection et par G et H les géoératrices de contact ; si l'on 



prend sur D à droite et à gauche deux points m et n également distants du sommet du cône; 



si par le point m on mèae deux droites g et g' parallèles à G, et par n, h et /;' parallèles 



à H ; si enfin , par une génératrice quelconque V du cône , l'on fait passer deux plans , 



contenant l'un G et l'autre H, et que par g l'on mène un plan P parallèle au plan (V, G ) et 



par A un plan Q parallèle au plan ( V, H ), les deux plans P et Q se couperont suivant une 



'" droite » parallèle à V. Toutes les droites telles que v formeront un hyperboloïde à une 



' nappe ayant pour cône asymptote, le cône donné et pour centre le sommet de ce cône. 



Si au contraire c'est par g' que l'on mène un plan parallèle au plan ( V, H ) et par h' un 



ii ilaii parallèle à (V,G), la droite ij' d'intersection sera parallèle à V, et toutes les droites 



telles que v' formeront le même hyperboloïde; de sorte que les droites telles que « en seront 



les génératrices du premier système^ et le? droites telles que v' en seront les génératrices du, 



. .fleuxième tyslème. „„,.. 



Le théorème généra! peut encore être énoncé do la manière"su!vaute. 



Étant donné une section conique c (ayant un centre ) et un diamètre arbitraire dé celle 



courbe, si par l'une des extrémités de ce diamètre on mène deux droites arbitrailres D et</, 



mais cependant telles que leur plan coupe celui de la courbe C suivant une tangente à cette 



combe; si par l'autre extrémité on mène deux droites respectivement parallèles D'àD, d' àd; 



si enfin, par un point quelconque m de la courbe c l'on fait passer deux pbiQS, l'un par D et 



l'autre par d' , leur intersection v sera la génératrice du premier système d'un hyperboloïde 



îHjiàune nappe ayant pour centre, le centre de la section conique ; si au contraire par le même 



point m l'on fait passer deux plan?, l'un par D' et l'autre par d , leur intersection v' sera la 



génératrice du deuxièitie système du môme hyperboloïde. 



Ce théorème conduit à quelques propriétés nouvelles des hyperboloïdos. 

 Étant donné un hyperboloïde à une nappe et de révolution, désignons par A son axe, pa 

 G une de ses génératrices , par o son centre, et par a le point en lequel G coupe son cercle 

 .^e gorge C. 

 Cela posé : 



Par un point m de G menons le plan tangent T à la surface , par ?n cl par A un plan P , 

 ' ces deux plans se couperont suivant une droite M; toutes les droites telles que M formeront 

 un hyperboloïde S à une nappe et non de révolutien , tangent à l'hyperboloïde donnné sui- 

 vant G. 



La démonstration est facile : en effet, supposons un hyperboloïde à une nappe et de révo- 

 lution; soit G son cercle de gorge, toutes ses génératrices du premier et du deuxième système 

 se projetteront orthogonalement sur le plan du cercle C suivant des tangentes à ce cercle. 

 X. ui Ainsi , désignant par g une tangente au cercle C; par m un point de g-; par h la tangente 

 menée par le point m au cercle G ; par a le point de conlacl de g' et C ; par b le point de 

 contact de /i et C : l'on pourra regarder g et /i comrae^ les projections de deux génératrices 



