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(Jet H de la surface et des systèmes différents, et le point ni comuie la projection du point M, 

 intersection de G et H. 



Le plan T passant par G et E sera tangent à la surface au point M, et aura pour trace 

 sur le plan de gorge la droite a b. 



Si par l'axe de la surface et par le i)oint M on fuit passer un plan Q, il aura pour trace la 

 droite o m, désignant par oie centre du cercle C. Les deux plans T et Q se couperont sui- 

 vant une droite qui percera le pian de gorge au point /i, intersection des deux traces a 6 

 et m. 



Faisant la même construction pour tout autre point de G , on voit que toutes les droites 

 telles que M perceront le plan de gorge en des points situés sur un cercle aj'ant pour dia- 

 mètre le rayon o adu cercle C ; et en vertu du théorème énoncé ci-dessus, on peut conclure 

 que la surface gauche engendrée par les droites telles que 91 est un hyperboloïde à une 

 nappe. 



On voit de suite que l'axe A sera une génératrice de la surface S et du même système 

 que M. 



Que le centre de la surface S sera le milieu de la droite o a, et que cette surface sera coupée 

 par le plan du cercle C suivant un cercle c' ayant pour diamètre le raj'on o a. 

 " L'axe ,\' de l'hypcrboloïdc S, fera avec l'axe A un angle moitié de celui que font entre 

 elles les droites A et G. 



"Pour chacune des génératrices du premier système de l'hyperboloïdc donné, on aura un 

 hyperboloïde tangent analogue à S. Tous ces hyperboloïdes seront égaux. 



De sorte que leurs axes A* foi-meront les génératrices du premier système d'un hyperbo- 

 loïde S' à une nappe et de révolution ayant pour axe l'axe A et pour cercle de gorge un 

 CPrcle c" concentrique au cercle C et ayant pour rayon la moitié de o a. 



Pour chacune de ses génératrices du deuxième système, l'hyperboloïdc donné aura aussi 

 un hyperboloïde langent, égal à S et dont l'axe A" sera incliné en sens inverse ; de sorte 

 que tous les axes A" seront les génératrices du deuxième système du même hyperboloïde S' 

 trouvé ci-dessus. 



Remarquons que la droite M divise en deux parties égales l'angle que font entre elles les 

 deux génératrices se croisant en m sur l'hyperboloïde donné , et que la droite N menée per- 

 pendiculairement à M et située dans le plan tangent sera parallèle au plan du cercle de 

 gorge. De soi te que l'on peut déduire de là, un procédé graphique simple pour résoudre la 

 question suivante : A quel caractère géométriqae peut-on reconnaître, qu'an hyperboloïde donné 

 par ses trocs droites directrices, est ou non de révolution? 



Désignons par D, D', D", les trois droites directrices, concevons une génératrice G de la 

 surface coupant D du point ?7i, D' au point ni', D" au point m". ' - 



Désignons par a, oc', a", les angles que la génératrice G fait respectivement ,liiais' du 

 même côté , avec les trois directrices, par S, S', S" les suppléments de ces angles. Conce- 

 Tons les trois plans tangents ( D, G ) en m, ( D', G ) en m' ( D", G ) en m", et traçons dans 

 chacun de ces plans deux droites divisant en deux parties égales les angles a, a, a et leurs 

 suppléments. 



