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.'• iI>ési§nons ijar g, g', g" Jes droites qui divisent respeclivéïnent eu deuX' parties égales les 

 angles oc, oc', a" et par h, h' h", celles qui diviseront les angles suppléments Q, fi*. S" ■ 



Si les trois droites g, g', g", ou si les trois droites h, h' , li" sont parallèles à on tnêtne 

 pian, la surface sera de révolution; si l'un et l'autre des dcDX systèmes de droites ne se 

 trouvent pas parallèles à un pion, la surface ne sera pas de révolution. 



On peut encore résoudre le même problême au moyen des considérations géomélfiques 



,, êuivanie,. 



Lorsque l'hyperboloïde est de révolution, son cône asymptote est aussi de révolution; 

 on peul donc dans ce cas construire une sphère, qui ayant son centre sur l'axe du cône, 



.lui ferait tangente suivant un cercle dont le p'an serait perpendiculaire à cet axe. 



■ Tous les plans tangents au cône sont des plans asymptotes de la surface donnée et con- 

 tiennent chacun deux généralrices de systèmes différents et parallèles entre elles. Dès lors : 

 ayant les trois direcliices D, D', D" de la surface, on construira les trois généralrices. G 



. parallèle à D, G' parallèle à D' et G" parallèle à D" ; les trois plans (G, D), (G', D'), 

 (G", D" ) seront trois plins asymptotes de la surface se coupant au cenlre o de la surface. 

 (Tons les plans asymptotes passent par le point o. ) Si du point o comme cenlre et avec un 

 rayon arbitraire, on décrit une sphère S et qu'on lui construise trois plans tangents respecti- 

 venifnt parallèles au-s trois plans asymptotes , ils se couperont en un pointe', qui sera 

 situé sur l'axe de la surface, si elle est de révolution; (cette construction permet de cons- 

 truire avec facilité l'axe de la surface, lorsqu'elle est de révolution.) Si maintenant on 

 construit une génératrice quelconque g de la surface et la génératrice du deuxième système 

 Il qui lui est parallèle , le plan {g, h) sera un plan asymptote; construisant à la sphère S un 

 plan langent parallèle à [g, h) ce plan passera par le point o' , si la surface est de révo- 

 lution : ainsi tous les plans tangents à la sphère S, et respectivement parallèles aux plans 

 asymptotes de la surface se couperont en uu mîme poi[U , lorsque la surface sera de révo- 

 lution ; et cela n'aura pas lieu, si la surface n'est pas de révolution. 



' . Gelte solution a quelque analogie avec celle indiquée par M. Hachette. 



Si l'on remarque, i° qu'élanl donné un cercle G et une série de cercle c', c" , etc., passant 

 par son centre et qui lui sont respectivement tangents aux points d, a", etc., si l'on pro- 

 jette obliquement tout le sytème, le cercle C se transformera en une ellipse E, et les cercles 

 ç' , c" , etc., en dos ellipses e' , e'', etc. , tie telle sorte que, i° les ellipses e', e", etc., ctE 

 seront semblables ( leurs axes étant parallèles ). 2" Toutes les ellipses e', e" , etc. , passeront 

 par le cenlre de E et seront respectivement langcutes i E, le centre de chacune d'elles étant 

 sur les droites unissant le cenlre de l'ellipse E et le point de contact. 



Si l'on remarque , :i° qu'étant donné un hypsrboloïde à une n'appe, et l'un de ses dia^iè- 

 .r^tres réel B ou imaginaire B', et le plan conjugué 1' de B ou P' de 1! , le plan P coupera 

 lu surface suivant une hyperbole H et que le plan F' la coupera suivant une ellipse E, que 

 lecyliudre langent A la surface suivant H aura ses iiénératrices parallèles à B, et que celui qui 

 sçra langent suivant E, aura ses généralrices parallèles à B' et que dès lors tontes les géné- 

 ratrices de la surface se projetteront obliquement sur P au moyen de lignes projetantes 



