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un point A; manons h corde a A; puis par un point fixe b, arbitrairement choisi sur le plan 

 de la courhe , menons la droite b m ; les deux droites A m et a A se couperont en un point 

 p. Faisons la même construclion pour les divers points de la tangente t, tous les points tels 

 que/7, sont situés sur une section conique S tangente à la courbe C au point a et passant par 

 le point fixe b. 



Supposons maintenant une seclion coniqueC'scmblableetconcentrique à C, les deux tan- 

 gentes f et T la couperont en deux points a' pour t et A' pour T et la corde a' A' sera 

 parnilèle i a A, si l'on prolonge la droite b m, elle coupera la corde a' A en un point p' qui 

 apparliciuîra à une section conique S' passant par le point fixe b et le point a et tangente à 

 la coiirjje (1' au point a'. Les deux scclioi'.s coniques S et S' seront semblables et auront 

 leurs axes parillèles. La droite t coupe aussi C en un point n" et la droite T coupe encore 

 C en lin point A", la corde a" A" est parallèle aux cordes a A et a' A'; si l'on prolonge la 

 droite bm elle coupera a" A" en un point /)" qui appartiendra à une section conique S" 

 passant encore par les points b et a, mais tangcnie à C au point a". S, S', S" serout des 

 courbes semblables et semblablemcnt placés ayant pour corde commune la droite a b; toutes 

 les sections coniques S, S', S", etc., seront enveloppées par une section conique R. 



On pourra regarder les deux courbes G et C comme les projections obliques de sections 

 parallèles faites dans un hyperboloïdeà une nappe, et les courbes S et S' comme les projec- 

 tions obliques, et par le même système de projection, des sections faites par les mêmes plans 

 parallèles dans la surfice gauche, lieu des droites déterminées de la manière suivante. 



t représentant la projection oblique d'une génératrice de la surface donnée; m la projec- 

 tion d'un point M de cette génératrice; T la projection d'une génératrice du deuxième 

 système, le plan ( t, T ) sera tangent à la surface au point M et aura pour trace sur le plan 

 de ia courbe G la droite a A; la droite b m représentera la trace d'un plan passant par la 

 droite projetée obliquement suivant le point b et par le point M projeté obliquement en tn, 

 ces deux plans se couperont suivant une dioite B projetée suivant b m et perçant le plan de 

 la courbe G au point /j et le plan delà combe dont C est la projection oblique au point dont 

 p' est aussi la projection oblique. 



Los surfaces du deuxième ordre sont les seules qui soient coupées par des plans parallèles 

 suivant des coulbes semblables; les deux sections parallèles S et S' étant semblables, la 

 surface gauche, lieu des droitcs;B, sera un bypcrboloïdc'à une nappe qui sera enveloppée par 

 un cylindre dont les génératrices étant parallèles à la direction des lignes projetantes obli- 

 ques, aura poi-'rlrace furie plan de la courbe C la section conique a. 



Ge mode de démonstration pourrait être appliqué aux théorèmes précédons sans avoir 

 besoin de recourir au théorème énoncé au commencement de cette note, et ce théorème 

 !ui-mêr.!e peut êtic ficilement démontré par celte méthode fondée sur les propriétés des 

 projections obliques. • 



D'après ce qui précède on peut donc énoncer les théorèmes suivants. 



1° Étant donné un hyperboloïde à une nappe et une droite arbitraire D; menons, par le 

 centre de la surface une droite a! parallèle à D, et le plan P conjugué de </ ( ce plan coupant 

 ia droite D en un point a et la surface suivant une section conique ellipse ou hyperbole H ); 

 prenons une généralriccG de la surface ( perçant le plan P au pointé) et en un de ses points 

 m construisons le plan langent T ; par le point m et la droite D, menons un plan Q, le* 



