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et la première devient 



'~dr ~ ^ ^ \dy^^^ dz' j 

 Dans le cas d'un tujau rectangulaire formé par des plans parallèles aux plans des xy et des 

 yz les équations déterminées se réduisent à 



du 



Eli -f- i 



Eu -\- e 



du 



dz 



Ainsi, nommant [> ei c la demi-largeur et ISi dçmi-epaisseur du tuyau, on voit que Tex- 

 pression de la vitesse u en fonction des coordonnées y et s devra satisfaire , pour des valeurs 

 quelconques de ces coordonnées, à l'équation [m); et satisfaire aux équations («) quand on 

 fera dans la première _y = ± 6 , et dans la seconde s = i; c. Cette expression doit s'accorder 

 de plus avec l'état initial du fluide, et devenir égale, lorsque f = o, à une fonction donnée 

 <f {y, z) entièrement arbitraire. 



La forme générale de l'expression de u qui remplit toutes ces conditions , est 



u = SS.'Pcosrny.co3nz.(i ' -j- SS.Q cos «t/.cos nz. 



P et Q représentent des coefficients arbitraires ; m , n sont des constaptes assujéties à satisfaire 



aux équations transcendantes 



EZ. Ec 

 mb. tang. mb = , ne. tang. ne = ; 



s e 



les signes SS indiquent que l'on doit prendre la somme des termes semblables que l'on for- 

 merait en attribuant successivement à m, « la suite infinie des valeurs qui satisfont à ces 

 équations. Les coefficients P, Q se déiermiiient par les métliodes employées par M. Fonrier 

 dans ses Reeherches sur la théorie de la chaleur. Les coefficients Q doivent satisfaire à 

 l'équation 



= SS.Q [m'-\-n') cas my. cos nz. 



Les coefficients P dépendent de l'état initial , et sont donnés par l'équation 

 ip (jy, z) = SS. (P -|- Q) cos OTj^. cos nz. 

 On conclut d'ailleurs de la forme de l'expression de u , que , quel que soit cet état , le mou- 

 vement des filets de fluide s'approche progressivement d'un état constant, dont il ne tarde pas 

 à différer très-peu , et qui est donné par l'expression 



4- 4-g'C çc ®'" ^^- ^^^ ^^- '^°* "y* *^°* "^ 



g. « (m" -)- re") (Q.mb -\- s'm 2.mb) (anc -|- sin 2«c) 



Dans cet état, la vitesse moyenne des fileis de fluide, que l'on désignera par U, est 

 A. L.sC sin' rnb. sin^ ne 



e.ecbc mn [m'^ -\- n^) [imb -\- s'ia "inib) [2nc -\- sm 2ne) 



Si la largeur et la hauteur du tuyau étaient très-petites , cette valeur se réduirait à 



et bc 

 E« b + c' 



