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MATHÉMATIQUES. 



ISote sur les surfaces développables , par M. Toisson. 



L'équalion générale des surfaces développables résulte, comme on sait, de l'élimination 

 d'une TariaJjIe a. entre ces deux équations : 



z-\-x(^a.-\-y-^a.-\-«. ■:=.o, 



+ r—, h I =o, 



(•) 



dcc da, 



dans lesquelles x,y, s sont les coordonnées d'un point quelconque, et çot et i^a deux fonc- 

 tions arbitraires. Au moyen de ces deux fonctions , on peut assujettir une surface de cette 

 espèce à remplir deux conditions , comme de passer par deux courbes données, de toucher 

 deux surfaces données, de passer par une courbe et de toucher une surface j ou enfin de 

 toucher une surface suivant une courbe déterminée , ce qui présente autant de problèmes 

 différents. L'objet de cette Note est de résoudre ces problèmes d'une manière plus directe et 

 plus simple qti'on ne le fait ordinairement. 



Supposons d'abord que la surface développable doive passer par une courbe dont les équa- 

 tions résolues par rapport à x et >' , soient 



x=fz, y = ¥z. 

 Ces râleurs devront satisfaire aux équations (i) , quelle que soit la variable z ; on aura donc 



z -\-J'z<^ci. -\- V Z'^ tf. -^ a, z:^ O , I 



d<j>a , ^ d-^a V (a) 



fz— hF2— l-i=o; i - 



da. da. 1 



et si l'on élimine z entre ces deux équations, il en résultera une équation dîfférentlelleque 

 nous représenterons par 



(f/ç* d-^a. \ 



<pa., — — , ■^a.,——, a] =z o. (5) 



da. . da. j 



Les fonctions (Jk* et -^a. devront donc être liées entre elles , soit par son intégrale, solt par sa 

 solution particulière. Or , la seconde équation ( 2) étant la différentielle de la première , prise 

 en regardant s comme constante, il est évident que l'Intégrale de l'équation (5) sera cette 

 première équation (a) , dans laquelle on mettrait à la place de z une constante arbitraire c, 

 ce qui donne 



c -j-ycifa + Fcil/a -}- c, =: o. 



Mais en liant les fonctions $ct et 4'* par cette équation, la surface développable serait seu- 

 lement assujettie à passer par le point de la courbe donnée, qui répond à s :=; c, et non pas 

 à passer par cette courbe. Ce n'est donc pas l'intégrale de l'équation (3) qui renferme la so- 

 lution du problème proposé (*) ; et , pour le résoudre, il faudra recourir à sa solution parli-^ 



(') Celte exclusion de l'intégrale, à laquelle on doit substituer la solution particulière, a également lieu 

 dans le problème général delà rectîGcalion des courbes {Corresfonclancc sur l'Ecole PoUjtcchniquc , toni. HT, 

 pag. 25), et dans la queslion où il s'agit de trouver l'équation de la développante, d'après celle de la déve- 

 loppée [Tluoric des fondions , pag, 208). 



Octobre 1823. 19 



