' . ... ^ '^l^ 



puis on éliminera a., <pa, et ■^a. entre les équations ( i ) , (5) et (8) : l'équation résultante 

 en X , y, z sera celle de la surface développable , assujettie à passer par les deux courbes 

 données. Le même procédé servira à déterminer toute autre espèce de surface , représentée 

 par le système de deux équations dont l'une est la différentielle de l'autre , et contenant une 

 ou plusieurs fonctions arbitraires , lorsqu'on donnera les équations d'autant de courbes par 

 lesquelles cette surface devra passer. 



Maintenant , supposons qne la surface développable représentée par les équations ( i ) j 

 doive touclicr une surface dont l'équation résolue par rapport à z , sera 



tzz ctz 



Il faudra qu'en tous les points du contact , les valeurs de s , et -^ soient les mêmes pour 



dx dy 



l'es deux surfaces ; mais , en vertu de la seconde équation fi), les valeurs de et , tirées 



dx dy 



de la première , se réduisent à — ça et — ■4'*; on aura donc 



d.f{x,y)^ d.f{ x,y) 

 dx dy 



équations entre lesquelles on éliminera x, y, z , ce qui donnera une équation entre oa, , i}'* 

 et et , que nous représenterons par 



W (?a^ 4''C, <*) =0. (9) 



SI l'équation de la surface donnée n'était pas résolue par rapport à z , et qu'elle fût repré- 

 sentée par 



f(.x, y, z) = o, 



on regarderait z comme une fonction implicite de x, y. On remplacera donc les trois 

 équations précédentes par celles-ci : 



s -\- x<i)cL ■\- y^'it -)- tt = o, 



17^ + '" = °' > (10) 



ds , 



dy 



y . dz dz ,.,,,. 



on y substituera pour . et leurs valeurs tirées des équations 



dx dy 



d.fjx, y, s) __ d.f{x, y, g) _ ^ . 



dx ' dy 



puis on formera l'équation (9) en éliminant x, y, z entre ces trois équations et celle de la 

 surface donnée. Quand la sui-face développable devra toucher une seconde surface donnée , 

 on formera de la même manière une seconde équation semblable à l'équation (9), et que 

 nous représenterons par 



n' (ça, ^«, tt) =0; (n) 



au moyen des équations (9) et (ii), on obtiendra, comme dans le premier problème , 

 l'équation de la surface demandée : celle-ci se décomposera en deux facteurs , parce qu'il y a, 

 en général, deux surfaces développables distinctes qui touchent deux surfaces données. Si 



■ y / 



