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l'on veut que la surface développaWe towche une surface et passe par une courbe données, 

 on dclerininora les fondions ça et -^^ au moyeu de l'cqualion (5) relative à la courbe ,' 

 et de l,"équation (g) résultant de la surface. Enfin, si l'on demande l'équation d'une surface 

 déveîoppable qui touche une surface donnée suivant une courbe aussi donnée; qae l'on re- 

 présente, comme précédemment, par 



l'équation de la surface touchée , et que l'on désigne , en outre , par 



F(x,jK, s) = o, 

 l'équation d'une seconde surface qui coupe la première suivant la courbe donnée, il faudra 

 que ces deux «quations subsistent en môme temps que les équations ( lo) pour tous les points 



,, , , . dz dz 

 de celle courbe; les valeurs des quantités et — — que celles-ci renferment étant toujours 



dx dy 



tirées, comme plus liaut, des équations 



d-f{x, y, z) _ d.J{x, y, z) __ 



dx dy 



Donc, en éliminant x, y, z entre les deux, équations précédentes jointes aux trois équa- 

 tions (lo), on aura deux équations entre iptt , -^a. et«, qui serviront à déterminer les 

 deux fonctions ça et ^a, et par suite à former l'équalion de la surface déveîoppable demandée. 



Des causi'iques par réfraction et par ré^exlon des courbes à double courbure. 

 [Extrait d'une Lettre de M. Quetelet, Piofesseur à V Athénée de Bruxelles^ 

 du 'à juillet 1825, communiquée par M. Haguette. ) 



Eu supposant que le rayon incident en un point d'une -courbe k double courbure se réfracte 

 ou se réllécbisse dans le plan qui passe par ce rayon et par la tangente de la courbe au point 

 d'incidence , on a le tliéorème suivant : 



La caustique par réfraction pour une courbe à double courbure quelconque , séparatrice 

 de deux milieux, et pour des rayons incidents normaux à uue autre courbe quelconque, es! 

 la développée de la ligue d'intersecliou de deux surfaces , dont la première est l'enveloppe des 

 sphères f|ui ont leurs centres sur la courbe séparatrice , et dont les rayons sont aux distances 

 de ces mêmes centres à la courbe normale aux rayons incidents , dans le rapport constant dn 

 sinus de réfraction au sinus d'incidence. La seconde surface est formée eu menant dans les 

 plans de réfracllon, une série de parallèles aux normales de la courbe séparatrice, par des 

 points pris sur les rayons iucldents, de telle manière que les distances de ces points aux points 

 d'incidence, soient aux rayons des sphères respectives , aussi dans le rapport de réfi'action. 



Pour la caustique par réflexion , il suffit de faire le rapport du sinus d'incidence aa sinus 

 de réfraction égal à l'unité. 



Quand la courbe réfléchissante ou séparatrice des milieux devient plane , ainsi que la ligne 

 à laquelle les rayons incidents sont noilruaux , la seconde surface devient un plan. 



En passant aux surfaces , le théorème précédent peut s'énoncer alusi : 



« La surface caustique par réfraction , pour une surface quelconque séparatrice de deux 

 » milieux et pour des rayons incidents normaux à une autre surface aussi quelconque , 



