2XY cos h; e. 



2YZ cos Cj e'. 



aXZ cos D e". 



ElimiuaniX, Y, l'équalion finale serait en Z du huitième degré. M. Lacroix a indique cette 

 solution dans son Complément de géomélrie , première édition, année 1795, page 85, et 

 dans une édition postérieure, il a rappelé la solution d'Estève , de 1754. 



Eu 1795, Lagrange a donné une solution plus simple , en prenant pour inconnue l'une des 

 trois arêtes , et pour les deux autres inconnues , les rapports de la première ax-ête à la seconde 

 et à la troisième. Ce mode de solution est indiqué dans le Journal des Écoles normales de 

 l'année 1793 , tome IV, pages 4ii-4'5. Eu supposant dans les trois équations précédentes 

 e , e'-, e", que l'arête Z soit prise arbitrairement , et que , par l'exlrémilé de cette arête , on ait 

 mené, un plan qui coupe la pyramide suivant un triangle- des côtés l) , c, d, semblable au 

 triangle donné base de la pyramide, la similitude de ces triangles donnera : 



ù' zr 7110^ = nd' , 

 tu et n étant des constantes connues; d'où il suit qu'on aura, pour déterminer X et Y, les 

 équations suivantes : 



X' + Y' — aXY cos B = m (Y" + Z' -~ aYZ cos C) (/) 



X' + Y^ — aXY cos B = « (Z' + X" — 2XZ cosD) U') ï 



prenant la valeur de Y'' dans l'équation (y ' ) , et la substituant dans l'équation (/) , on aura , 

 après la substitutiou, une valeur linéaire de Y, au moyen de laquelle on changera l'une des 

 équations fc^j' en une autre, qui ne contiendra que l'indéterminée Z et l'inconnue X élevée 

 a. la quatrième puissance; on dcterrnircra ensuite l'arbilraire Z, par la condition que les 

 extrémités des trois arêtes X, Y, Z soient les sommets d'un triangle donné, base de la 

 pyramide. 



Estève, de Montpellier, avait remarqué que le problème de la pyramide trlangulaiie qu'il 

 avait résolu, n'était pas de pure spéculation, et qu'il pouvait être utile dans la géographie, 

 pour la solution de cette question : 



« Etant placé sur le sommet d'une montagne , et connaissant les distances qu'il y a enlro trois 

 x'ojjjels qu'on découvre dans la plaine, il s'agit de déterminer du même sommet , par les 

 )> règles de la trigonométrie , la hauteur de la montagne, et la distance à chacun des objets 

 y> qui sont dans la plaine; enfin, tout ce qui appartient à la pyramide , dont la base connue 

 » est dans la plaine , et le sommet à l'œil de l'observateur , qui y mesure les angles formés. » 

 Oa sait que la géométrie descriptive a pris naissance à l'École royale du génie qui fut 

 établie à Mézières, eu 1748; la méUiodc des intersections des surfaces courbes faisait partie 

 de renseignement de cette Ecole, et on l'appliquait à la solution du problème d'Estève; elle 

 était connue de Mouge, qui a fait voir , dans son Cours de géométrie descriptive aux Ecoles 

 normales de 1795 , que la solution , par cette métl.oJe, consistait à regarder chaque côté de 

 la base de la pyramide, comme la corde d un arc capable de l'un des angles plans donnés 

 qui forment l'angle dièdre de celte pyramide; chaque arc, en tournant sur sa corde, 

 engendre une surface de révolution , et les trois surfaces de révolution ainsi engendrées se 

 coupent en des points, dont chacun est le sommet d'une pyramide qui satisfait aux donn(!es 

 du problème. Cette solution géométrique est exposée dans le Journal cité des Ecoks nor- 

 males, tome lîl, pages 547-552. 



