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D'après les solutions algébnqnes de Lagrange, de I7'j3 el 1795, oa avait conclu que le 

 nombre de pyramides qui rcsolvaienl la questiou était de huit; mais M. Hachette a remarqué 

 qu'en prenant en considération les pyramides symétriques pour lesquelles les longueurs des 

 arêtes ne changeaient pas , le nombre effectif de solutions était de seize. Il a donné une nou- 

 velle solution, d'après laquelle on peut disposer du troisième angle de l'angle Uièdre, pour 

 que les seize solutions ne se réduisent pas à huit ; ce qui arrive , lorsque les U-ois suppléments 

 des angles plans'de l'angle trièdre donné, né peuvent pas former un second angle Irièdre. 

 Cette solution a ('té publiée dans la Correspondance sur l'École Polylhecnique , tome II, 

 cahier de juillet 1812 , page 552 , et dans son Traité de géométrie descriptive, édition 1822 , 

 page i53 , et note page 363. Elle est fondée , ainsi que celle de Monge , sur le principe qu'un 

 point est déterminé par la condition d'appartenir h trois surfaces de révolution ; ayant sup- 

 posé que le plan de la base donnée de la pyramide était fixe, on a cherché la position qui 

 convenait h des plans mobiles passant par les côtés de cette base, pour que ces plans com- 

 prissent l'angle trièdre donné , opposé à la base. M. Bruno, de Naples , a renversé l'hypo- 

 thèse ; il a supposé que l'angle trièdre fut formé , et il s'est proposé de le couper suivant un 

 triangle de similitude donnée. Par cette manière d'envisager la question, il a trouvé que le 

 problème se résolvait plus simplement que par les méthodes connues , et que la solution 

 ne dépendait que de l'intersection des deux hyperboles situées dans un même plan. 



Quant au nombre. de solutions, M. Hachette a fait observer qu'il dépendait uniquement du 

 nombre des angles trièdres qu'on peut former avec trois angles donnés, en y comprenant leurs 

 suppléments. Il est facile de prouver, et algébriquement, et par des considérations synthé- 

 tiques très-simples, que ce nombre d'angles trièdres est de huit, non compris leurs symé- 

 triques , et de seize , en les comprenant. En effet, les trois plans des angles a, b , c d'un angle 

 triodiO, divisent l'espace eu huit angles trièdres, symétriques deux à deuxj et si l'on forme 

 un second angle trièdre avec les trois suppléments a', b' , c' , les plans de ces trois angles 

 diviseront encore tout l'espace en huit nouveaux angles trièdres. La discussion de l'équation 

 bien connue en trigonométrie, sin a sin b cos A r= cos a — cos b cos c, donne le même 

 nouil;re de combinaisons. En effet, on a pour l'angle trièdre formé par les trois angles 

 a , b , c ; el pour les sept autres angles trièdres , qui se groupent au même sommet : 

 sin b sin c cos A =. cos a — cos b cos c 



r= — cos a -j- cos b cos c; 

 et pour les trois suppléments a\ Z»', c', 



sin b sin c cos k z=. — cos a — cos b cos c 

 ^= cos a -|- cos b cos c. 

 Chacune de ces quatre équations en comprend deux. 



Les huit angles trièdres distincts étant construits , on y placera , par la méthode de M. Brano , 

 un triangle semblable à la base donnée de la pyramide demandée, et im plan parallèle à 

 celui de ce triangle contiendra la base même. La détermination du plan de cette base ne 

 présente aucune diÛiculté. 



M. Bruno a donné , dans son Mémoire, de nouveaux exemples de l'application de la mé- 

 thode des anciens à la recherche de plusieurs propositions de géométrie très-cijrieuses ; on 

 les trouvera dans la traduction commentée et développée de ce Mémoire, que M. Hachette 

 a présentée à la Société. • 



