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Pour transformer le premier terme du second membre, j'intègre deux fois de suite par partie, 

 puis je substitue en dehors du signe / , à la place de 2, la formule (3) ; il en résulte 



h 



-J^y dx =z 1 {qp' — pq' — nm' + mn") e -j- / 



z dx , 



dx'' 



a 



en faisant 



y ^^ m, -=3 « , y ^ m , — ; — = n , a la limite x zz a; 



dx dx 



^ «Çk _ / _ / '^y' f - I r •. 7 



y =: p, — — zz q , y — p' , -r — = 9', a la limite x =z b. 



D'ailleurs , si l'on met dans l'équation (1 ) , j'' et p' à la place de j et p, qu'on la multiplie par 

 zdx , et qu'on intègre , on aura 



h h h 



p'J zy' dx = C ^■S^'^-^+y ^^/'^^î 



a a a 



en prenant donc la somme des deux équations précédentes et réduisant, nous aurons 



/i 

 zy' dx pt r 



=: 2 (9/»' — pq' — nm' -|- mn') e + P / ^j' dx. 



d. 



- - - ^^j 



dt 



Maintenant , pour déterminer les valeurs de p et le rapport des deux constantes C et C', 



supposons qu'on doive avoir les éqnations 



m •\- »n ^=Z O, p-f-Çi^z^o, (5) 



dans lesquelles a, et ^ sont des constantes données. En y substituant ponr_j.- sa valeur; faisant, 



en général , 



dfkx,^') _, d^ (x, p) _ p, 



^^— -/ (^,P), ^^ - - F (^,P), 



.et éliminant entre ces équations (5) , l'une des deux quantités C et C, ce qui fera disparaître 

 l'antre en même temps , on trouve 



G 



/(û,p) + ^/' (a,p) F(i,p) -|-ffF'(3,p) 



) {} { (6) 



= f/(^,p) + ^f (*,PI ( F(a,p) + «F' (a,p) h 



équation qui servira à déterminer les valeurs de p : l'une des équations ( 5 ) fera ensuite con- 

 naître le rapport de C' à C , et la constante C restera arbitraire. Mais ce que nous avons en 

 vue, c'est de déterminer la nature des racines de celte équation (6). 



Or, p' étant une valeur parliculière dcp, les équations (5) doivent subsister en y mettant p' 

 à la place de p , ce qui donne 



m' -|- et «' = o , p' + ^q' = oj 

 en joignant celles-ci aux équations (5), on en conclut 



w/i' — m' n ZZ. o , pq' — p' q = Oj 



