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ce qai fait disparaître la somme 1 contenue dans réquation ( 6) , et la réduit à 



s 



l. f zy' dx , f 



J ^ =p'J zy'dx; 



dt 

 d'où l'on tire , en intégrant , 



/ 



b 



p't 



zy' dx = Ae ; (7) 



A étant la constante arbitraire. Cette dernière équation devra être identique par rapportai; 

 en y substituant donc la formule (3) à la place de z, et égalant les coefQcients de la même 

 exponentielle dans les deux membres , il en résultera 

 b 



f 



y y' dx -zz o, (8) 



tant que p et p' seront deux racines différentes de l'équation (6) ; et dans le cas de p = p', on 

 aura, en particulier, 



b 



f 



y'dx :=A. (9) 



Toute cette analyse est celle que j'ai déjà donnée dans mon second Mémoire sur la chaleur, 

 pour déterminer les coefficients des exponentielles (*);et, en effet, au moyen de l'équation 

 (9), la constante C contenue dans y, se déterminera d'après la constante A, qui se déduira 

 elle-même de la valeur initiale de a en faisant i = o dans l'équation ( 7 ) ; mais alors je n'avais 

 pas remarqué l'usage que l'on peut faire de l'équation (8) , pour démontrer que leurs expo- 

 sants sont tous réels. 



Supposons pour cela que l'équation (6) puisse avoir des racines imaginaires, telles que 

 r ± r' ^/ITT, r et r' étant deux quantités réelles. On pourra prendre. 



p =:. r + r' y/ZT: , p' = r — r' j/3T , 



et représenter par 



r = R + R' \/—,, y =.■ R - R' \/—, 



les valeurs correspondantes dey eiy', R et R' étant aussi des quantités réelles qui renferment 

 la variable x. L'équation (8) deviendra alors 



5 



/ 



(R= + R") dx =. o. (10) 



Or, tous les éléments de cette intégrale étant positifs , leur somme ou l'intégrale ne peut être 

 égale à zéro , à moins qu'ils ne soient tous nuls ; on a donc 



R = 0, R' = o; (il) 



équations d'où l'on tirerait des valeurs de r et r' dépendantes de x, ce qui est inadmissible; 

 donc aussi les valeurs de p et p' que nous avons supposées sont impossibles , ce qu'il s'agissait de 



(') Journal de l'École Polytechnique, ig'cabier, page 377. 



