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 - MATHÉMATIQUES. 



Mémoire sur le calcul numérique des intégrales définies, par M. Poisson. 



{Lu aT Académie Roy iiL- di:s ScU-nccs le ii décembre 1826.) 



Le calcul des intégrales déOnies est peut-être la partie de l'analyse dont les applications sont 

 les plus nombreuses et les plus variées. Non-seulement elles comprennent la rectiGcatloa 

 des courbes, révaluatioii des surfeces et des solides, et la détermination des centres de gravité, 

 mais encore, la plupart des problèmes de mécanique ou de pbysique que l'on résout par le 

 calcul intégral, conduisent à des expressions des inconnues en intégrales définies. Aussi, 

 depuis Euler, et surtout dans ces derniers temps , les géomètres se sont-ils beaucoup occupés 

 d'étendre et de perfectionner cet important calcul. Dans le petit nombre de cas où l'intégrale 

 générale est connue sous forme finie, on en déduit inïmédialcment l'intégrale définiej dans 

 d'autres cas , beaucoup plus étendus , on parvient à trouver la valeur exacte de l'une sans con- 

 naître celle de l'autre ; mais le plus souvent on est obligé de recourir aux méthodes d'ap- 

 proximation. Celles-ei consistent en des moyens particuliers à quelques intégrales, d'après 

 lesquels on parvient à les faire dépendre les unes des autres , et à les réduire en table , ainsi 

 que M. Legendre l'a pratiqué à l'égard des transcendantes elliptiques, et de deux autres classes 

 d'intégrales qu'il a nommées Eulériennes. Quelqtiefois aussi on peut réduire la quantité 

 soumise à l'intégration eu série convergente dont les termes sont intégrables par les règles 

 ordinaires. Mais quand toutes ces ressources manquent , on emploie un procédé général de 

 calcul, fondé sur la nature même des intégrales , et qu on appelle proprement Méthode des 

 quadratures ; dénomination qui lui vient de ce que le problème est le même que celui de 

 trouver l'aire d'une courbe plane, ou le côté du carré équivalent. L'examen approfondi de 

 cette méthode, envisagée sous un nouveau point de vue , est le but principal que je me suis 

 proposé dans ce Mémoire. 



Une intégrale définie est la somme des valeurs de la différentielle comprises entre les limites 

 de l'intégration , et supposées toutes infiniment petites j ce qui ne souffre d'exception que 

 quand le coefïicient différentiel devient infini entre ces limites. Il en résulte que si l'on prend 

 seulement un grand nombre de ces valeurs , et qu'on y remplace la différentielle de la variable 

 par sa différence finie, on aura une première valeur de l'intégrale, d'autant plus approchée 

 que cette diflérence sera plus petite. Il ne s'agira plus que de déterminer la correction 

 qu'elle doit subir ; et c'est en cela que consiste la méthode que nous voulons examiner. 

 La formule en série, quEuIer a donnée pour exprimer cette correction , est une des plus 

 utiles dont il a enrichi l'analyse. Nous y parvenons d'une manière nouvelle, qui a l'av.jii- 

 tage de faire connaître en même temps une expression du reste de la série , à quelque terme 

 que l'on s'arrête j expression dont il est facile d'assigner des limites dans chaque cas par- 

 ticulier, qui permettent d'apprécier l'erreur de l'approximation. Il serait à désirer que Ion 

 eût de semblables limites pour toutes les suites infinies dont on fait usage : Engrange les a 

 exprimées très-simplement dans le cas de la série de Taylor ; et récemment M. Laplaee 

 s'est occupé de questions analogues , relatives aux développements des cooi'dorinécs des 

 planètes dans le mouvement elliptique, et d'une autre fonction qui se piéscnte dans la 

 théorie des perturbations. Dans le ras dont nous nous occupons , ce qui rend la connaissance 

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