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MATHEMATIQUES. 



Mémoire sur la distinction des racines imaginaires j et sur l'application des 

 théorèmes d' analyse algébrique à diverses équations transcendantes , et spé- 

 cialement à celles qui dépendent de la théorie de la chaleur, par M. FouRiER. 

 Extrait lu à l'Académie des Sciences, séance du mercredi "ù janvier. 



Le premier article de ce Mériioire fait partie d'un Traité qui ne tardera point à être publié, 

 et qui contient les résultats de mes recberclies sur la théorie des équations. On -démontre dans 

 ce premier article une proposition rclatlTC à l'emploi des fractions continues pour la distinction 

 " des racines imaginaires. L'illustre auteur du Traité de larésotulion des équations numériques 

 avait proposé, ainsi que Waring , pour la détermination des limites, l'usage d'une équation 

 dont les racines sont les différences des racines de l'équation que l'on veut résoudre. Cette 

 méthode est sujette à deux difficultés très-graves qui la rendent Inapplicable : la première 

 consiste dans l'étendue excessive du calcul qui sert à former l'équation aux différences ; la 

 seconde dans le très-grand noinbre des substitutions que l'on aurait à effectuer. J'ai recherché 

 avec le plus grand soin les moyens de résoudre ces deux difficultés , et j'y suis parvenu en 

 démontrant la proposition suivante. 



On peut omettre dans tous les cas l'emploi de l'équation aux différences, et procéder im- 

 médiatement au calcul des fractions continues qui doivent exprimer les valeurs des racines; 

 il suffit d'établir ce calcul de^la même manière que si l'on était assuré que toutes les racines 

 sont réelles. Il est très-facile <3e connaître comLion on doit chercher de racines dans chaque 

 intervalle donné; or on distinguera par le résultat même de l'opération celles de ces racines qui 

 sont réelles. Quant au nombre des racines imaginaires, il est précisément' égal au nombre 

 des variations de signe qui disparaissent dans les équations successives. Le Mémoire contient 

 la démonstration générale de cette dernière proposition; il en résulte une méthode très- 

 simple pour distinguer promplement et avec cerirtude les racines imaginaires , et pour assigner 

 deux limites entre lesquelles chacune des racines réelles est seule comprise. 



Le second article concerne les équations que l'on a appelées transcendantes, dénomination 

 singulière empruntée dune autre brandie des éludes philosophiques. Je démontre que les 

 théorèmes généraux d'analyse algébrique s'appliquent aux équations de ce genre que pré- 

 sentent la tliéorie de la chaleur ou d'autres questions naturelles'. Le principe sur lequel cette 

 .application est fondée consiste en ce que, dans toute équation algébrique ou transcendante 

 formée d'un nombre fini ou infini de facteurs , parmi lesquels il se trouve un ou plusieurs 

 facteurs du second degré ayant de'ux racines imaginaires , cbacun de ces derniers fac- 

 teurs correspond à une certaine valeur réelle qui indique deux racines imaginaires , parce 

 qu'elle fait disparaître deux variations de signes à la lois; et l'on prouve que si l'équation 

 proposée n'a aucune de ces valeurs réelles et critiques , il est impossible qu'elle n'ait pas toi(tes 

 ses racines réelles. En général c'est une même méthode qu'il faut employer, soit pour distinguer 

 les racines imaginaires dans les équations algébriques et pour calculer les valeurs de leurs 

 racines réelles , soit pour distinguer les racines imaginaires des équations transcendantes , et 



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