70 



quer que les iioiiiiales à la première surface sont évidenimciU nor- 

 males à la seconde, d'où il résulte que cette dernière a tout h^ 

 long do chacune de ses génératrices rectilignes un seul et même 

 plan tangent , ce qui suffit pour montrer qu'elle est développable. 



Si la surface réglée qui sert de base à la construction n'était pas- 

 déveîoppable , toutes les normales qu'on lui mènerait le long d'une 

 génératrice , au lieu d'être comprises dans un plan , seraient com- 

 prises dans un paraboloïde hyperbolique. Toutes ces normales 

 coupées à une même distance de leur base donneraient non une 

 droite mais une courbe , et le lieu de toutes les courbes ainsi obte- 

 nues , au lieu d'être une surface déveîoppable , ne serait pas même 

 généralement une surface réglée. 



De là il résulte que les surfaces développables sont les seules 

 surfaces réglées qui jouissent de celte propriété, que deux d'entre 

 elles puissent être équidistantes dans toute leur étendue; si donc 

 deux surfaces réglées, et, à fortiori, si un grand nombre de surfaces 

 réglées sont équidistantes dans toute leur étendue , on peut être 

 assuré que toutes ces surfaces réglées sont des surfaces dévelop- 

 pables. 



— M. Binet fait remarquer que bien que ce théorème n'ait pas 

 encore été énoncé dans la forme que l'auteur lui a donnée , la pro- 

 priété des surfaces développables à laquelle il se rattache a déjà élé^ 

 indiquée par Monge , dans son Mémoire sur la surface courbe dont 

 toutes les normales sont tangentes à une même surface dévelop- 

 ■pablc quelconque, inséré dans le Journal de V Ecole Polytechnique^ 

 13^ cahier, t. vi. 



En effet , après avoir prouvé que la surface dont il s'agit en 

 général dans le mémoire peut toujours être engendrée par une 

 courbe plane , dont le plan roule sur la surface déveîoppable , 

 Monge ajoute : xii... «Si la génératrice est une droite fixe dans le 

 « plan et mobile avec lui , la surface engendrée sera une nouvelle 

 « surface déveîoppable , dont l'arête de rebroussement , perpé- 

 « tuellement touchée par la droite génératrice , est entièrement 

 " sur la première surface déveîoppable. Cette nouvelle surface 

 « déveîoppable est perpétuellement normale au plan générateur, 

 « tandis que la première est perpétuellement touchée par lui. Enfin 

 «' ces doux surfaces développables ont entre elles cotte relation que 

 '.' la première est la développée de la seconde : ainsi les surfaces 



