parmi eux il s'en trouve un cl un seui qui soit rectangulaire, c'est- 

 à-dire qui ait ses plans directeurs , P et O , perpendiculaires entr(! 

 eux; le plan P étant perpendiculaire à la génératrice G. 



Sans doute, dit-il, M. Cliasles a donné à sa démoostraiion la 

 forme particulière sous laquelle il l'a présentée, parceqii'il avait en 

 vue de rattacher son théorème à la théorie de l'involution de six 

 points, dont il avait déjà fait plusieurs applications. 



Suit la démonstration nouvelle de M. Olivier. 



1** L'on sait depuis longtemps que la surface formée par les 

 normales m.enées aux divers points d'une génératrice G d'une sur- 

 face gauche forme un paraboloïde rectangulaire. Nous désigne- 

 rons ce paraboloïde par N , et ces deux plans directeurs par P 

 etQ'. 



2° L'on sait aussi que l'on peut toujours construire un parabo- 

 loïde T, rectangulaire et tangent à la surface gauche donnée et 

 tout le long de la génératrice G ; désignons par P et Q ses plans di- 

 recteurs. 



3** L'on sait que les deux paraboloïdes T et N ont un plan direc- 

 teur commun qui est le plan P, lequel est perpendiculaire à la gé- 

 nératrice G, et que les deux autres plans directeurs O et Q' sont 

 perpendiculaires entre eux. 



i" L'on sait que les deux paraboloïdes T et N ont même sommet, 

 lequel est situé sur la génératrice G. 



S** L'on sait construire le sommet d'un paraboloïde, lorsque l'on 

 connaît les deux directrices droites et ses deux plans directeurs. 



C'est à Monge et Hachette que la géométrie descriptive doit ces 

 divers théorèmes et les constructions graphiques qui s'y rappor- 

 tent. 



Cela posé : 



11 suffit de démontrer le théorème énoncé pour un paraboloïde 

 rectangulaire, pour qu'il le soit pour une surface gauche quelcon- 

 que ,' et il suffira de prendre pour la génératrice G l'une des deux 

 génératrices qui se croisent au sommet de la surface. 



Ainsi : 



Prenons pour plans de projections les deux plans directeurs et 

 'construisons l'cpure du plan tangent en un point du paraboloïde 

 rectangulaire , choisissant ce point sur la génératrice horizontale 

 qui passe par le sommet. 



