a G, a A seroni les traces du 

 paraboloïde sur le plan vertical 

 et le plan horizontal. 



G q et q r seront les traces 

 du plan tangent au point dont 

 les projections sont G et m. 



G b perpendiculaire kG q et 



b d parallèle à /> A et à ^ r se- 

 ront les traces d'un plan normal 

 au point (G, m). 



Ce plan normal passant par 

 la génératrice projetée verticalement au point B et horizontalement 

 suivant p A , sera tangent au paraboloïde au point (G, n). 

 Le point (G, A) est le sommet du paraboloïde. 

 Pour démontrer le théorème énoncé, il suffit de prouver que l'on 

 aura A m x An:r:= constante = K. 



Or, il suffit de jeter les yeux lire sur l'épure pour lire le théo- 

 rème énoncé. 

 Et en effet : 



Les deux triangles m r A et n A d sont semblables. 

 Le triangle qG b est rectangle en G et l'on a r'm = qp, nd = 

 p b. On aura donc en désignant par « l'angle r A m 



mk= P^l , n A = J?'^_ ; et qp~x P^^ ^ P^- 



tang. K 

 Donc m A x n A 



tang. « 



Gp^ 



—- = constante = K. 



îang.2« 



Si l'angle « est égal à un demi-droit ; alors , tangente « = 1 , et 

 w A X n A = G|>2. 



Ainsi : le carré de la distance de la génératrice G , par laquelle 

 passe le plan tangent au point (G, m) et normal au point (G, n) , 

 au plan qui , parallèle au plan directeur, coupe la surface suivant 

 une génératrice faisant avec G un angle demi-droit , est égal au 

 produit des distances des points (G, w) et (G, w) au sommet (G, A) 

 (lu paraboloïde. 



Le mode de démonslralion employé ici a , outre sa simplicité, 



