tangents au cône, quelle que soil sa position, on obtiendrait deux gé- 

 nératrices de contact qui, en les faisant glisser parallèlement à elles 

 mêmes jusqu'à ce qu'elles s'appuient sur A et B, donneraient deux 

 génératrices de la surface gauche pour lesquelles la surface serait 

 encore développable. 



On voit donc que lorsque E est une ellipse , la surface gauche a 

 quatre génératrices suivant lesquelles sa surface est développable. 

 2° E étant une parabole, la droite B peut être parallèle ou non à 

 son axe infini ; dans le premier cas, B ne coupe la courbe qu'en un 

 point et toujours en deux points dans le second cas ; on aura donc 

 deux surfaces distinctes. 



3*^ E étant une hyperbole, la droite B peut couper les deux bran- 

 ches ou une seule branche de la courbe et dans l'un et l'autre cas 

 en deux points, et dès lors on a deux surfaces distinctes. 



A° Enfin B et A. peuvent être parallèles aux asymptotes do la 

 courbe E et alors la surface est un hyperboloïde à une nappe. 



Les surfaces ayant deux droites directrices et un cône directeur 

 du deuxième degré , forment donc six surfaces distinctes , dont une 

 seule est du second degré. Les cinq premières sont composées de 

 deux ou quatre nappes qui se croisent suivant les droites A et B, et 

 il sera facile de reconnaître et de construire les génératrices suivant 

 lesquelles leur surface est développable , et l'on voit de suite que 

 l'hyperboloïde ne possède aucune génératrice de ce genre. 



Si l'on considère une génératrice G de la surface pour laquelle la 

 courbe E est une ellipse , on peut se demander si l'hyperboloïde 

 osculateur le long de G aura une osculation du troisième ordre. . 



Pour que l'osculation de l'hyperboloïde fût du troisième ordre, 

 il faudrait que l'on pût construire une hyperbole osculatrice du 

 troisième ordre à l'ellipse E et au point p en lequel la généra- 

 trice g du cône directeur , laquelle génératrice g est parallèle à la 

 droite G, pour la courbe E, et que de plus cette hyperbole eût ses 

 asymptotes parallèles aux droites A et B; or, cette hyperbole 

 n'existe pas pour un point quelconque d'une ellipse, mais pour 

 quatre points particuliers qu'il est facile de construire. Et en effet, 

 il suffit de mener par le centre de l'ellipse E deux droites A' et B', 

 respectivement parallèles à A et B; ces deux droites couperont l'el- 

 lipse, B' en h et h' et A^ en a et a'\ ces quatre points formeront les 

 ^^atomets d'un parallélogramme inscrit à l'ellipse. Les diamètres de 



