DAS SCIENCIAS DE LLSBOA. 1." GLASSE. 9 



As raizes de (3) sao as de (4), e reciprocamente : e toclas as raizes de (i) 

 sao todos os numeros menores que p, que por esle modulo tornam divi- 

 sivel qualquer dos dois faetorcs do primeiro mcmbro de (i). Ora para 

 o factor x- — a so ha mna raiz <Cp, que satisfaea a essa condieao; e para 

 outro factor haveni lantas quantas sao as raizes da congrueneia 



aa m - , -+-b'x m - 2 -\ M = ; 



logo se designarmos geralmente por •hv o maior numero de raizes que 

 pode ler a congrueneia 



a x 



qx" 



r x 



0, 



■3) = ... 



teremos 



^ m = 1 + % (m — 1 ) = 2 + $ (m — 2) = 3 + $ {in 

 = m — 1 -+- ty 1 = m -+- (|/ 0. 



Ora | corresponde visivelmente a congruencia 



isft, 



que e absurda na hypothese adoptada de nao ser a divisivel por #; logo 

 ^0=0, e por eonseguintc 



7. Urn dos theoremas de uso inais frequentc na ihcoria dos nume- 

 ros, e a formula que, para qualquer grandeza de N, da o numero, que 

 designaremos por (fJV, de numeros nao maiores que N e primos com 

 elle. Se iV-=l, yiV=l ; c se JV>1, os numeros primos com N, que 

 eonsideramos, sao todos menores (pie N. 



Suppondo pois que os faetorcs primos diversos de N sao A, /?, C, 

 etc., isto e, sendo 



o theorema indicado e 



.iV—i'"' « p_r C 



(,i_i)(//^i) ( r_i).... 



Para demonstrar esta formula empregaremos mna nolacao, que pode van- 

 lajosamente servir em outros casos. Supponhamos (pic n'uma seric S 

 qualquer de numeros (que eonsideramos rewridos, e nao s'ommados, pois 



