12 MEMORIAS DA ACIDEMIA REAL 



8. Da formula (5) e facil dc concluir, quo sc A\ B' forem primos 

 entre si, teremos 



(ii; 



?- 



pois que sendo C, D, etc. os factores primes dc A', c E, F, etc. os do 

 B' , os quaes serao primos com os primeiros, sera 



:6— 1 2> (3 - 1 



A'=*C'D*...i B'=E 7 F S .,.; 



„N=oA'B'=zC*D (i ...E 7 F*.. 



E 7 ~ l F*- 1 ... ((7—1) (D — 1) . . . (£— 1) (F 

 : « 6' 8 D p . . . X * E 7 F* ...=•? i' X ? B'. 



De (11) deduz-se, sendp y/', 5', C, etc. primos entre si, 



112) 



? J ' n> C'... = ®A'c ? B l C l ... = 9 A ? B' ? C . 



9. A formula (5) foi descoberta por Euler (Novi Comment. Ac. Sc. 

 Imp. Pelrop. t. via) que a demonstrou por um modo summamente en- 

 genboso e geral. Poster iormente (Ada Ac. Sc. Imp. Petrop. 1780, pars ii) 

 publicou duas outras demonstracocs da mesma formula, que dc certo nao 

 tern o merito da primeira. Em uma dcllas emprega-sc uraa longa e mi- 

 nuciosa induceao, que pela sua crescents difficuldade dcixa bastantc ob- 

 scuridadc no espirito; a outra, eomo Euler confessa, foi-Ihe suggerida 

 pelo exame das operacoes indicadas que dao a funccao yJV". Esta demon- 

 strate-, alias cxtremamente simples, e, como bem obscrva Poinsot (me- 

 moria acima citada), inteiramente destituida dc rigor. Este ultimo geo- 

 metra reformou o que nessa demonstracao havia dc ineonsistente; mas 

 deve advertir-se que a induceao, de que usa Poinsot, requcr, para scr 

 indefinidamente continuada, uma grande contensao dc espirito, o que faz 

 que a sua apparente facilidade nao sc prova pela pouca extensao com 

 que esse raciocinio foi redigido. 



Gauss (obra citada) depois dc demonstrar, eomo e facil, a vcrdadc 

 da formula (5) para quando N e potcneia de um numero primo, pas- 



