DAS SOENCIAS DE LISBOA. I." CLASSE. 



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sa a fundar o caso geral na dcrnonstraeao da formula (1.2\ seu pro- 

 cess , pdstoque extremamente engenhoso , e inncgavelmcnte menos sim- 

 ples (jiic o de Poinsot. 



Legendre (fheorie des timbres 3. e edit.) aproveitando tambem , 

 para a demonstraeao , a forma do valor do ? N, dcpois de fcitas as 

 operagoes respectivas , empregou uma induced bastaute laboriosa , que 

 para convencer oomplelamente, e' nceessario ainda que oleitor suppra al- 

 guns dcsenvolvunentos , que explicitamente se nfto encontram no texto. 



Sflr. F. S. Margioebi nas suas Institutes mat hematic as . que 

 brevemente verao a luz publica , contcmplaudo a forma geral daquel- 

 le desenvolvimento , proeurou demonstrar quo clla cquivale a urn pro- 

 cesso successive para acbar os numeros menores que TV, e primos com 

 clle ; mas a indueoao do que fa/, uso esse distincto analysta csta mui 

 longe de ser evidente. 



A demonslraeao que demos , que julgamos nao ser mais longa que 



a de Poinsot, prmcipalmente se a restringirmos as condicoes particula- 



res do tbcorema, para que espccialmcntc a empregamos , tern sobre a- 



quella , nos parecc , a vantagem de nao exigir a grande contensfto de 



espinto indispensavel a uma cnumeraoao, cm que continuamente cres- 



eem os elementos , (pie sc devem ter prcscntes ao entendimento. 



10. As formulas (9,10), que teem ainda a vantagem de cxpri- 



rair theoremas muito mais geraes que o de Euler, podem servir com- 



modamente para a demonstraeao de formulas importantcs e curiosas 



sempre cpie scju possivel determiner cada um dos symbolos .V ou 



f ; d ,° maneira - <l lMJ « reuniao delles possa reduzir-se a uma formu- 

 la facil de calcular. 



Por exemplo , a equaeao symbol ica (9) dar-nos-ba . por meio de 

 uma cxprcssao elegante , a somma de todos os numeros nao maiores 

 ((tie N, c primos com clle. 



Para oconseguir, considcrando o scgundo membro de (9) co- 

 mo uma somma algebrica de todas as expresses symbolicas, que nol- 

 le entrain , determ memos o valor do qualquer dellas. 



E facil de vcr que teremos 



S, = 1+2 + 3 h~ . . . + N^X (iV+ |) . 



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