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MEMO 111 AS DA ACADEMIA REAL 



a scnc 



a, a 2 , a 3 . . . a", 



conteni n raizes distinctas de (4.3). 



O numero n seni sempre divisor de p' (§ 13). 

 33. Qualquer congruencia (43) lem sempre urn numcro de raizes 

 primitivas reprcsentado por fp 1 . 



Esta bella propricdade dcscobcrta por Laml>ert (Acta eruditorum, 

 1769), foi primeiro demonslrada por Euler (Coram, nov. Acad. Petrop. , 

 T. xvni, pag. 85). Gauss reconheccndo que essa demonstracao nao era 

 absolutamcnte rigorosa, publicou (obra citada, §§ 53, 54, 55) duas de- 

 monstrates inteiramente isentas de toda a objeccao. 



A demonstracao de Legcndre (obra citada, T. n, pag. 16) e analoga 

 a ultima das demonstracoes de Euler, de que fallamos (§ 9), e tem o 

 mesmo defeito, que Poinsot reconheccu naquell'outra. Poinsot (mcmoria 

 citada) deu ainda duas outras demonstracoes, a primeira fundada em uma 

 induccao pouco evidente, e outra summamente simples, em que demon- 

 strando previamcnte a existencia de uma raiz primitiva, conclue dahi 

 a existencia de yp' raizes dcssa classe, simpliiicando a demonstracao que 

 da ultima proposicao deu Gauss (Disq. Arith. % 53, 1.°). Serrct (Cours 

 d Algebra Superkure, pag. 316) demonstrou tambem o mesmo theorema, 

 aproveitando o processo primeiro indicado pop Gauss, que faz dcpender 

 as raizes da congruencia do grau p' = q r p s 7 ... (sendo q, r, s, . . ■ 

 primos entre si) de outras corrcspondentes aos graus q , r , s , etc. t 

 processo cm que tambem se funda a segunda demonstracao de Poinsot. 



Apezar da existencia desses numerosos e importantes trabalbos, acre- 

 ditamos que poderiio sofl'rer a comparacao com ellcs as duas demonstra- 

 coes, que passamos a expor. 



A primeira dellas fornecer-nos-ba uma nova applicacao da for- 

 mula (10). 



Qualquer raiz nao primitiva de 



(44) 



«'si. 



em que jp'= q r^ s 7 . . . sera raiz de 



a — ix' R -- y — y 1 



:' = 1 , 



