SUR LE DEGRÉ d'iNFINITUDE DES COMBINAISONS DEUX A DEUX 167 



successivement, un à un, la peine que cette entreprise se donnera, le 

 service qu'elle nous rendra sera proportionnel au nombre de ces 

 lettres, conversations ou combats. Elle devra donc se faire payer pro- 

 portionnellement à ce nombre, c'est-à-dire à [n, 2], et non pas propor- 

 tionnellement à n. 



C'est ce que fait l'administration des Postes pour le transport des 

 lettres. C'est ce que fait celle des Téléphones lorsqu'elle nous taxe à 

 la conversation. C'est ce que devrait faire le propriétaire qui louerait 

 le local où s'effectueraient successivement tous les jeux constituant 

 une Poule. 



Une administration, au contraire, qui ferait payer proportionnelle- 

 ment au nombre des personnes en cause, c'est-à-dire proportionnelle- 

 ment à n, verrait ses bénéfices aller en diminuant, et même se trans- 

 former en pertes de plus en plus fortes, à mesure que ce nombre de 

 personnes croîtrait. Le système de l'abonnement, employé chez nous 

 par l'administration des Téléphones, fournit des recettes proportion- 

 nelles au nombre n des abonnés, nécessite des dépenses proportion- 

 nelles au nombre [n, 2] des conversations. Il ne peut conduire qu'à 

 des déficits croissants. On devrait supprimer le système des abonne- 

 ments, et imaginer des compteurs pour les conversations téléphoni- 

 ques, comme on en a imaginé pour l'eau, le gaz et l'électricité. 



IV 



Le nombre [n, p] des combinaisons simples de n objets p à p est 

 donné par la formule bien connue 



n(n — l)(n — 2)---(w — p -\- i) 



\n, p] = ■ z—;: 5 



' ' ^^ 1.2.3--P 



dont la précédente n'est qu'un cas particulier. Elle nous montre que, 

 si p reste fixe et que n aille en croissant, [n, p] croît aussi, mais 

 beaucoup plus vite. Si le nombre n des objets est l'infîniment grand 

 principal, le nombre [n, p] des combinaisons de ces objets p à p est 

 un infiniment grand d'ordre p. Tout ce qui précède sur les combi- 

 naisons 2 à 2 pourrait donc s'étendre aux combinaisons p k p. Par 

 malheur, dans la pratique, cette extension paraît impossible. Même 

 dans le cas le plus simple, celui des combinaisons 3 à 3, les exemples 

 analogues aux précédents, c'est-à-dire les exemples usuels, me sem- 

 blent faire complètement défaut. 



