OBSERVATION SUR l'iNTERPOLATION 69 



Cette formule de Lagrange peut s'écrire sous la forme 



\](x) = XjWi -I- X2W2 H H- X„M„, 



Xy étant un polynôme en x, qui devient égala 1 pour x = Xj et 

 qui s'annule pour les n— 1 autres valeurs données ajj, a?,, . . ., 

 différentes de Xj. 



Gela étant, considérons une fonction arbitraire cp(z), et désignons 

 par ^(z) la fonction inverse. Il en résulte que o['î^(z)J = z, et que 

 <|/|^cp(z)] = z. Si par exemple o est un sinus, ^ sera un arc sinus ; si 

 tp est un logarithme, ^ sera une exponantielle, etc. Et, à la place de 

 la formule de Lagrange, écrivons 



Pour une valeur a;^ donnée à la variable, Xi, Xo, ... s'annulent, 

 sauf Xy qui devient égal à l'unité, et il vient 



Ainsi, les conditions remplies par la formule de Lagrange sont 

 encore remplies, et l'interpolation est obtenue au moyen d'une fonc- 

 tion cp complètement arbitraire. 



La méthode de Lagrange prend ainsi une extension et une souplesse 

 extrêmes, qui lui donnent une incontestable valeur pratique. 



On peut étendre la généralisation ci-dessus à toute autre formule 

 d'interpolation que celle de Lagrange. Soit en effet 



\(^X) = F{X, a?i, . . . , Xn, Ml, U2, . . . , Un) 



une telle formule. 



Pour X = Xj, la fonction F doit se réduire identiquement à Uj. 

 Si on y remplace tous les u par '\>{u), 



F(xj, Xi, a?2, • . . , ^n, '\>{Ui), MU2), •■ -, 4'(Wn)) 



se réduira donc à <\i{uj) ; par conséquent 



Uc.) = .[f(.,..,., .„*(«,)....,««.))] 



donnera 



\][Xj) = fi'^iUj)) =: Uj, 



si bien que nous aurons encore une formule résolvant la question 

 d'interpolation posée. 



