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SUR LA MÉTHODE D'ÉRATOSTHÈNE 



par M. Joseph DESCHAMPS. 



I. — Considérations générales. 



La méthode dite du crible d" Eratosthène est ordinairement regardée 

 comme ayant pour but la construction des tables de nombres pre- 

 miers. Ainsi envisagée, elle mérite assurément le reproche grave qui 

 lui est adressée d'être longue dans son exécution et d'exiger des 

 écritures qui sont, non seulement nombreuses, mais encore inu- 

 tiles, puisqu'elles aboutissent à la suppression de la majorité des 

 nombres écrits. C'est pourquoi on la simplifie dès le début, en omet- 

 tant immédiatement d'une part tous les nombres pairs supérieurs à 

 2, et d'autre part dans la série des nombres impairs les multiples 

 de 3 et de 5, lesquels sont directement reconnaissables. Il n'en reste 

 pas moins vrai que, malgré ces importantes simplifications, le tra- 

 vail à accomplir reste considérable et peut exiger un temps très- 

 long, si l'on veut atteindre une limite élevée. 



En raison de cette difficulté d'ordre purement matériel, il est 

 vrai, en raison aussi de la qualité spéciale du nombre premier, on a 

 cherché s'il n'était pas possible d'échapper à la méthode d'Eratos- 

 thène, en s'efforçant soit de trouver des caractères particuliers appar- 

 tenant exclusivement aux nombres premiers et permettant de les 

 reconnaître sinon à première, du moins à seconde vue ; soit de re- 

 connaître si la succession des nombres premiers se présente sui- 

 vant certaines conditions de régularité permettant, leur suite une 

 fois commencée jusqu'à une certaine limite, de la continuer d'après 

 une loi de succession déterminée. On est malheureusement obligé 

 d'avouer que tous les efforts tentés jusqu'à présent sont restés sté- 

 riles et que le nombre premier reste la grande énigme et presque le 

 scandale de l'arithmétique. 



A quoi tient cette stérilité d'efîorts ? Est-ce à une impuissance 

 particulière de l'esprit humain qui reste incapable d'analyser le nom- 

 bre qu'il a cependant créé, alors qu'il a pu surmonter tant d'au- 

 tres obstacles et faire d'autres analyses infiniment plus délicates? 



