108 JOSEPH DESCHAMPS 



Théorème III. — Le nombre des éléments de la période correspon- 

 dant au nombre premier p est égal à 



(2 — 1) (3—1) ... (w— 1) ip—l). 



Supposons le théorème vrai pour le nombre premier n ; je dis 

 qu'il est vrai pour le nombre premier immédiatement supérieur p. 

 Le nombre des termes de la période correspondant au nombre n 

 étant par hypothèse égal à (2 — 1) (3 — i)'... (n — 1), le groupe 

 formé des p premières périodes comprend (2 — 1) (3 — 1) ... 

 (n — 1) p éléments. Comme le nombre des éléments supprimés 

 dans ce groupe en tant que multiples de p est, en vertu du théo- 

 rème précédent égal à (2 — 1) (3— 1) . . . (w — 1), le nombre des 

 éléments restants, c'est-à-dire des éléments formant la période qui 

 correspond au nombre p est égal à 

 (2 — 1) (3 -1) ... (n— l)jo-(2 — 1) (3 -1) ... (n — i) 



= (2-1) (3-1) ... {n-l)(p-l), 

 ce qu'il fallait démontrer. 



Or le théorème est vrai pour le nombre premier 2, puisque le 

 nombre des éléments formant la période correspondante est égal à 

 1 = 2 — 1 ; il est donc vrai pour le nombre premier 3, et par suite 

 pour tous les autres nombres premiers. 



Corollaire. — Les multiples du nombre premier supérieurs à son 

 carré p forment une suite périodique dont la période est égal à 

 2,3, ... n.p. et dans laquelle le nombre des éléments de la période 

 est égal à (2 — 1) (3 — 1) ... (n — 1). 



L'exactitude de cet énoncé découle de l'ensemble des théorèmes 

 I, II et III. 



Théorème IV. — Le rapport du nombre des multiples du nombre 

 premier p que l'on supprime dans le groupe formé des p périodes 

 consécutives correspondant au nombre premier inférieur n, au nom- 



i 



bre total des éléments de ce groupe, est égal à — 



En effet le nombre total des éléments du groupe, est égal à 

 (2 — 1) (3 — 1) ... (n — l) p, tandis que les nombres des multiples 

 supprimés est (2 — 1) (3 — 1) . . . (n — 1). Le rapport de ce dernier 



au nombre précédent est donc égal à — 



p 



On voit par là que, dans le groupe considéré, les multiples res- 

 tant du nombre premier p se trouvent répartis en moyenne de p 



