SUR LA MÉTHODE d'ÉRATOSTHÈNE 11 i 



bres résiduels, à partir de7, à la supression des multiples de 5, savoir 



7 11 13 17 19 23 29 31 

 37 41 43 49 49 53 59 61 



disposée en une suite périodique dont la période est 30. 



Il n'y a qu'à continuer de la même manière pour former les 

 suites périodiques des multiples de 11, puis de 13, de 17, et 

 ainsi de suite autant qu'on voudra. La période des multiples de 11 

 est 2.3,5.7.11 = 2310, et le nombre des éléments (2 — 1) (3 — 1) 

 (5 — 1) (7 — 1) = 48 ; pour 13, la période serait 



2.3.5.7.11.13 = 30030, 

 et le nombre des éléments 



(2 _ 1) (3 - 1) (5 — 1) (7 -1) (li — 1) = 480. 



Ces nombres augmentent, comme on le voit, très rapidement; et 

 cette rapidité très grande devient trop promptement un obstacle 

 presqu'insurmontable à l'application de la méthode. Il n'en est pas 

 moins vrai que, appliquée ou non, la méthode subsiste en entier, et 

 que la formation et la suppression des multiples d'un nombre premier 

 quelconque laisse toujours après elle un résidu présentant une grande 

 régularité, dans lequel des nombres disparaîtront encore comme 

 multiples de nombres premiers supérieurs tandis, que d'autres res- 

 teront pour constituer avec ceux déjà conservés la série des nombres 

 premiers. 



D'après cela, il est impossible que la suite des nombres premiers 

 présente une régularité permanente ; elle n'est, en effet, qu'une partie 

 d'une suite qui, étant régulière, subit des suppressions qui altèrent 

 cette régularité. Néanmoins, la suite des nombres premiers présente 

 des vestiges de cette régularité dus à ce qu'ils entraient dans des 

 suites périodiques dont les périodes étaient les nombres 6, 30, 210, 

 2310, etc. Pour en donner un exemple écrivons quelques nombres 

 premiers à partir de 11 ; la période 30 s'y manifeste comme on 

 peut le voir, mais avec des lacunes, par le tableau-ci-dessous : 



11 13 17 19 23 29 31 37 



41 43 47 » 53 59 61 67 



71 73 » 79 83 89 » 97 



101 103 107 109 113 » » 127. 



La même chose aurait lieu pour les périodes 210, 2310, dont cha- 

 cune est un multiple de toutes les précédentes. On peut donc dire 

 que, si à un nombre premier on ajoute un des nombres 30, 210, 



