SUR LA MÉTHODE d'éRATOSTHÈNE 113 



w, + ;;, WÎ2 H- p, ... mg-\-p 



mi-\-2p, m^-h'ip, ... mg-\-2p 



nii-Jr-kp, m^-hkp,' ... nig -{- kp 



Par conséquent un nombre N multiple de a et d'ordre de multi- 

 plicité supérieur à rrig sera de la forme 



N = a(m^ H- Kp) ; 



il en résulte: 1° que la différence N — am^ est divisible par p, et 

 que par suite, les deux nombres N et am^ fournissent le même 

 reste à la division par p ; ±° que, si l'on divise par p les deux nom- 

 bres am^ et N, la différence des deux quotients, qui est aK, est 

 divisible par a. 



Examinons maintenant si la réciproque est vraie, c'est-à-dire si 

 un nombre N satisfaisant à cette double condition est un multiple 

 de a. La double condition ainsi supposée se traduit par les égalités 



(1) ania = pq -\- r 



(2) N = p{q + ak) -\- r, 

 d'où par soustraction 



N — am^ = ahp 

 ou 



(3) N = a(m^-H kp). 

 Donc N est multiple de a. 



En résumé, pour qu'un nombre N soit multiple de a, il faut et 

 il suffit: 1° qu'il fournisse à la division par p le même reste qu'un 

 certain multiple am^ de a compris dans la suite des multiples con- 

 nus awii, am2, . . ., amg-, 2° que la différence des deux quotients soit 

 divisible par p. En outre, quand il en est ainsi, l'ordre de multipli- 

 cité de N relativement à a se détermine immédiatement d'après 

 l'égalité (3), et par suite la décomposition de N en un produit de 

 deux facteurs est effectuée. 



On remarquera que la démonstration précédente n'implique aucune 

 hypothèse particulière relative aux nombres a et p, et par consé- 

 quent dans les applications ces deux nombres peuvent être absolu- 

 ment quelconques. Prenons par exemple a = 7, p = 30. En 

 négligeant les multiples de 7 qui sont aussi multiples des nombres 

 premiers inférieurs 2, 3, o, nous formerons, en remarquant que 

 37 = 7 -4- 30, les multiples de 7 des rangs 



mi = 7, ?n2 = M, mj = 13, 7/14 = 17, 



m. = 19, m. = 23, m, = 29, m^ = 31, 



