LA MAGIE ARITHMÉTIQUE DÉVOILÉE 185 



fre de ce rang est significatif dans la clé, et il est évident que les chif- 

 fres d'un même rang sont tous si le chiffre de ce rang est dans la 

 clé. 11 résuite de là que tous les termes de la série sont différents, 

 numéralement et réellement. 



Si tous_les chiffres de la clé sont signiticatifs, un petit calcul démontre 

 que la somme réelle des p termes est égale à la somme magique d'un 

 espace magique à autant de dimensions qu'il y a de chiffres dans lu 

 clé. 



Ces séries sont dites magiques et les autres d'inv aviation. 



Propriété générale. — La somme numérale 



a X ri 4- 6 X ^''i -h ... -h h X (/J — 1 )?'i 

 dans laquelle les coefficients des termes de la série numérale (r,) sont 

 des nombres commensurables quelconques, positifs ou négatifs, ou 

 des 0, est toujours égale numéralement à un terme de cette série. 



Gela résulte immédiatement de ce que la somme numérale et la dif- 

 férence numérale de deux termes est toujours égale à un terme de la 

 série, et qu'il en est de même du produit et du quotient d'un terme 

 par un nombre entier quelconque, et par suite par un nombre frac- 

 tionnaire quelconque. 



5. — Les séries numérales du deuxième ordre. 



Considérons maintenant, toujours dans la même base p, une 

 deuxième série numérale (ro) dont la clé r^ n'est pas un terme de la 

 série numérale (j'i). Si l'on ajoute successivement aux p nombres de 

 la série (rj), suivant la loi de l'addition numérale, les p nombres de 

 la série {r.2), on obtient p suites de p nombres, soit p- nombres. 



J'appelle cette suite de p'^ nombres série numérale du deuxième 

 ordre et la désigne par le symbole {r^, r^). 



Les nombres ri et ?% sont les deux clés de cette série 



Propriété de non-répétion. — Les p^ nombres d'une série nuipérale 

 du deuxième ordre sont tous différents. 



Soient art-i-br.:, et cr^ + dr., deux termes diflerents de la série 

 (î-i, j'a), a, b, c, d étant des nombres entiers parfaitement déterminés 

 par les rangs des deux termes. 



Il nous suffira de démontrer l'impossibilité de cette égalité numé- 

 rale 



ari -f bi'2 = cri + rfr,. 



Si était égal à d l'égalité ne pourrait exister que si a était égal 



