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à c, mais alors les deux termes se confondraient au même rang. 

 Pareillement si a était 'égal à c. Nous n'avons donc à considérer que 

 le cas où a est différent de c, et b différent de d. 

 Mettons l'égalité sous la forme 



(6 — d)r^ = (c — ^Yi 

 divisons les deux membres par b — d et nous aurons 



c — a 



'■' = T^d '■'• 



Il résulte de la propriété générale de la série numérale du premier 



ordre que -; 7 /•., et par suite r,, est un terme de la série [i\). 



b — a 



Or le nombre r^ est précisément assujetti à la seule condition de ne 

 pas être un terme de la série (n). Donc l'égalité est impossible. Ce 

 qui démontre que les p- termes de la série (j-j, r.^) sont tous diffé- 

 rents. 



Propriété GÉNÉRALE. — il est évident que la somme numérale de 

 deux termes quelconques d'une série numérale du deuxième ordre est 

 un terme de cette série. 



{avi + bi\) -h (cTi -^-dv:^ = (a + c)')\ -h (6 -t- d)u. 

 On en conclut qu'il en est de même de la différence de deux termes, 

 du produit ou quotient d'un terme par un nombre commensurable 

 quelconque, positif ou négatif, enffn que la propriété générale des 

 séries numérales du premier ordre s'étend aux séries numérales du 

 deuxième ordre. 



6. — La table d'addition numérale. 



Plaçons les p suites de p nombres de la série numérale (rj, i\) les 

 unes au dessous des autres dans les cases d'un échiquier. 



Notre série numérale du deuxième ordre se présentera sous la forme 

 de la table suivante : 



{p — ï)r. r,-\-{p — V)r^ â/'i + (ji>— i)?-, ... {p—i)r,-^{p — \)r^. 



La première ligne est formée par la série numérale (y'ij, la pre- 

 mière colonne par la série numérale (/i), et tout nombre de la table. 



