LA MAGIE ARITHMÉTIQUE DÉVOILÉE 187 



situé au croisement d'une ligne et d'une colonne, est égal à la somme 

 numérale du nombre de la série (rj situé en tète de la colonne et du 

 nombre de la série [r^) en tète de la ligne. 



Nous avons construit une table d'addition numérale dont tous les 

 nombres sont différents. 



Donnons deux chiffres aux clés i\ et r.,. 



La table d'addition sera construite avec les p^ premiers nombres 

 entiers, de à p- — 1. 



Représentons les positions de chaque case par son point central, et 

 prenons pour axes de coordonnées des x et des y la ligne des centres 

 des cases de la première rangée et la ligne des centres des cases de la 

 première colonne. Représentons aussi en position au point central le 

 nombre situé dans la case, qui s'appelle af/îxe de ce point ou de cette 

 case. Enlin prenons pour unité de longueur le côté d'une case. 



La position d'une case xy, dont les coordonnées sont x et y, sera 

 fixée par les grandeurs de x et y. Ainsi la case 35 sera placée dans 

 la 3" colonne après la première et dans la 5" rangée après la première. 



La propriété de notre carré d'être une table d'addition numérale 

 s'énoncera ainsi : L'affixe d'une case xy est égal à la somme numé- 

 rale ï'iX -h r^ij: 



J'appelle groupes équipollents deux groupes d'un même nombre de 

 cases, Ai, A,, ... A„ et Bi, B2, ... B„, tels que les droites AiBi, A2B2, 

 . . . A„B„, qui joignent les centres des cases correspondantes soient 

 égales et parallèles de même sens. 



Soient Xiyi, x^y^, . . . Xnyn les positions des cases Ai, Ao, ... A„. 

 Les atîixes de ces points sont numéralement égaux à 



''i-x'i -+- r,?/!, rjx, + r.2,'/2, • . ■ r^x^ + riijn- 



Lesdroites A^Bj, AoBj, . . . A„B„ étant égales et parallèles de même 

 sens, leurs projections sur l'axe des x sont toutes égales à une même 

 longueur a et sur l'axe des t/ aune même longueur 6. En conséquence, 

 les affixes des points Bi, B2, . • . B„ sont numéralement égaux à 

 ri(a?i-ha)4-r2(?/i+6), r^{x2^a)-^r^[y^^-^b), 



. . . r^{Xn-^a}-{-r.{yn-^b] 

 c'est-à-dire aux affixes de x\i; A2, ... A„ augmentés numéralement 

 d'un même nombre r^ a -h r.2 b. 



Et réciproquement, si l'on augmente numéralement d'un même ' 

 nombre tous les affixes d'un groupe de cases, les affixes obtenus 

 appartiennent à un groupe équipollentde cases. 



Il est évident, géométriquement et arithmétiquement,. que deux 

 groupes de cases équipollents à un troisième sont équipollents entre 

 eux. 



