LA MAGIE ARITHMÉTIQUE DÉVOILÉE 189 



on ligne droite. Une ligne de p cases ainsi réparties s'appelle ligne 

 arithmétique. 



Soit a,.//^ un antre des {p — 1)^ nombres à deux cliiffres signiti- 

 catifs, et non compris dans les termes de la série (a^.b^). Il est clair 

 que les nombres de la série numérale (a^-b.,) sont tous différents des 

 nombres de la série {a^.bC), à l'exception de 0.0, et déterminent par 

 leurs affixes un autre ligne arithmétique de p cases dont p—i sont 

 nouvelles. 



Pareillement, si un autre de ces (p — l)^ nombres, «3.63, n'appar- 

 tient à aucun des nombres des séries précédentes, (ai. 61) et (a.,. 62)5 la 

 série numérale («g. èg) assignera par leurs atïixes les positions de p 

 cases, dont p — 1 nouvelles, et ainsi de suite jusqu'à la {p — 1)* série 

 numérale («;,_! . bp_i). 



Ces p — 1 séries numérales du premier ordre, qui sont magiques, 

 déterminent par leurs affixes p — 1 lignes arithmétiques appelées 

 lignes magiques. Ces p — 1 lignes magiques passent par la case 0.0, 

 et leurs [p — 1)^ autres cases sont les [p — \Y cases du carré dont les 

 affixes ont tous leurs chiffres significatifs. 



De même les deux séries numérales (U.l) et (1.0), qui sont d'inva- 

 riation, déterminent deux lignes arithmétiques appelées lignes dHnva- 

 riation ; elles passent par la case 0.0 et occupent les 2(p — 1) cases 

 dont les affixes ont un parmi leurs chiffres. 



Ainsi toute case du carré de la table se trouve nécessairement sur 

 une ligne arithmétique, magique ou d'invariation, qui passe par la 

 case 0.0. 



En ajoutant successivement aux affixes de la ligne arithmétique 

 correspondant à la série (a.b) les p nombres d'une autre série numé- 

 rale (c.d), dont la clé n'est pas un terme de la série («.6), nous savons 

 qu'on obtient p lignes arithmétiques équipollentes ou parallèles, etque 

 ces p lignes parallèles sont toutes magiques ou toutes d'invariation ; 

 elles occupent les p^ cases de la table et caractérisent ce qu'on appelle 

 une direction. 



On a toujours deux directions d'invariation etp — 1 directions magi- 

 ques. 



Conclusion. 



La table d'addition numérale est un carré hypermagique. 



8. — Les constellations magiques. 



C'est M. Gabriel Arnoux qui a découvert les carrés hypermagiques. 

 Dans son admirable étude sur les espaces arithmétiques hypermagi- 



