LA MAGIE ARITHMÉTIQUE DÉVOILÉE 193 



Nous avons voulu les faire voir en nous plaçant au point de vue 

 d'où l'on découvre la magie supérieure. 



Après ce que nous venons de dire, nous sommes en mesure d'expo- 

 ser en quelques pages la théorie des carrés magiques et panmagiques 

 à tous les degrés, qui est d'une simplicité véritablement magique. 



10. — Les grilles. 



Je complète cette esquisse de la magie au premier degré par quel- 

 ques remarques sur les grilles. 



La figure symétrique d'une grille magique, par rapport au centre 

 d'une case quelconque du carré, est toujours une grille magique. En 

 choisissant la case centrale, on voit que si l'on fait tourner une grille 

 magique d'un angle de 180° autour du centre du carré, on obtient 

 une autre grille magique. Or toute grille a 8 orientations, 4 par face. 

 Par conséquent, dans les 8 orientations d'une grille magique quel- 

 conque, 2 au moins sont toujours magiques, 



Dans les carrés panmagiques, pour que les 4 orientations d'une 

 même face soient magiques, il suffit que les deux lignes d'invariation 

 soient perpendiculaires ; ce qui s'exprime par la condition 



ax 6 = — 1 (mod p) 



le carré type étant la figuration de la série numérale (1.1, a. b). 



Pour que 4 orientations, dont 2 sur chaque face, soient magiques, 

 il faut et il suffit que les deux directions d'invariation soient égale- 

 ment inclinées sur les côtés ou les diagonales du carré; ce qui se tra- 

 duit par la condition 



a-i- b = ou aXb = -hi- (mod p) 



Les conditions axb= ~i et ax6 = -l-l sont contradic- 

 toires, et dans les carrés panmagiques on ne peut avoir à la fois 

 ax b = — 1 et a-\- b = 0. 



parce qu'il en résulterait a = -i- 1 et 6 = — 1, et les lignes 

 d'invariation seraient parallèles aux diagonales du carré. 



Enfin, pour que les 8 orientations de la grille soient magiques il 

 faut et il suffit qu'on ait 



ax6 = + l et a-+b = (mod p) 



ou, ce qui revient au même, 



a2 = — 1 et è^ = — 1 (modp) 



